Uva-11077(Find the Permutations-排列统计)（斯特林数+Dp）

题目

vjudge传送门
Uva传送门

题目大意:

给出 1~n 的排列,可以通过一系列的交换成{1,2,3,…,n}
给定 n,k 求统计有多少个排列至少需要交换k次才能变成{1,2,3,…,n}

数据范围

$1\le n\le 21,0\le k<n$

思路

我们首先记 $P$ 为排列 $1,2,3,...,n$

我们可以考虑假设现在有一个排列,要求至少交换多少次变成 $P$ ?
首先知道每次交换必定为让一个数归位,人品好的时候会一下子归位两个
然后我们可以将位置有关联的分成一个个循环,各循环之间相互独立

然后又知道两个数为一循环需要交换1次,三个数为一循环需要交换2次,…，两个数为一循环需要交换1次,m个数为一循环需要交换m-1次
相当于这个排列有 $x$ 个循环,那么就要交换 $n-x$ 次
那么现在我们知道 交换 $k$ 次，那么有 $n-k$ 个循环

$n个数分成m个圆排列求方案数是不是就是S1$?
第一类斯特林数自己百度一下吧

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define ULL unsigned long long
int read(){
    int f=1,x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
#define MAXN 21
ULL f[MAXN+5][MAXN+5];
int main(){
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=MAXN;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*(i-1);
	int n,k;
	while(~scanf("%d %d",&n,&k)&&(n+k))
		printf("%llu\n",f[n][n-k]);
	return 0;
}