Cramer_rule克莱姆法则讲解

克莱姆法则讲解

最近因准备保研在复习线性代数，克莱姆法则(Cramer’s rule)老是记混，故此在博客整理一下克莱姆法则。

1.考虑方程组

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$
与二、三元方程组类似，n元方程组的解也可用行列式表示。

2.方程组的矩阵表示

$$\begin{array}{cccc}A& X& & \beta \\ \left[\begin{array}{rrcc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{r}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{r}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right]\end{array}$$

3.解过程

分别记录$A,A_j如下:$
$$A=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$

$$A_j=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& ...& a_{1(j-1)}& b_1& a_{1(j+1)}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& ...& a_{2(j-1)}& b_2& a_{2(j+1)}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& ...& a_{n(j-1)}& b_n& a_{n(j+1)}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$

若系数行列式不等于0，即：
$$A=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$$

则解为：
$$x_j=\frac{A_j}{A}=\frac{\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& ...& a_{1(j-1)}& b_1& a_{1(j+1)}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& ...& a_{2(j-1)}& b_2& a_{2(j+1)}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& ...& a_{n(j-1)}& b_n& a_{n(j+1)}& ...& a_{nn}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|}$$

克莱姆法则：

• 定理一：若系数行列$A\ne 0$，则方程组有为一解$x_j=\frac{A_j}{A}$，即：
  KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …{array}\right|
  定理一的个人理解： 如果要证明定理一就必须分三步，即
  Step1：证明方程组有解；
  Step2：证明方程组的解唯一；
  Step3：证明方程组解的公式。
• 定理二：若齐次方程组的系数行列式 $A\ne 0$ 则方程组有惟一零解。
  补充知识：齐次线性方程组为方程组中常数项为$0$，即在本题中为$\beta$中每一项$b_i=0$都成立，即：
  $$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{nn}{x}_n=0\end{array}$$
  齐次线性方程组的矩阵表示为：
  $$\begin{array}{cccc}A& X& & \beta \\ \left[\begin{array}{rrcc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{r}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{r}0\\ 0\\ ...\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$
  定理二的个人理解： 因为当齐次方程组的系数行列式 $A\ne 0$ 时方程组有惟一零解，而此时又因为齐次线性方程组中常数项为$0$，所以唯一的解只能为$0$解。
• 补充知识：若要证明齐次线性方程组有非零解，则系数行列式$A=0$。
  补充知识的个人理解： 若要保证齐次线性方程组有非零解，则系数行列式$A=0$，此时因为系数行列式$A=0$，则方程组解不唯一，就有除了唯一零解之外的非零解。