Herr XIAO
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多项式插值，拉格朗日插值，三次样条插值

期末考试知识点整理

1. Polynominterpolation

    已知一组离散数据 f(x_{i}) , x_{i}=x_{0},....x_{n}, 找到一组多项式p(x) 使得上确界sup_{x\subseteq [a,b]} |p(x)-f(x)| 尽可能小（即误差最小），

完成这个多项式插值，一个建议 P(x)的阶数小于等于n，且令p(x_{i}) = f(x_i), 得到以下方程组：

多项式插值，拉格朗日插值，三次样条插值_第1张图片

一共由n+1个线性方程组组成，写成矩阵形式：

多项式插值，拉格朗日插值，三次样条插值_第2张图片

可理解矩阵多项式插值，拉格朗日插值，三次样条插值_第3张图片的列构成希尔伯特空间下的n+1组基，函数f(x) 在希尔伯特空间下用向量a表示。求出a向量，即可确定P(x)。

例子：

给出(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-2,0,2,3), (y_0,y_1,y_2,y_3) = (-23,-1,5,17). 求p(x) = a_0 +a_1x+a_2x^2+a_3x^3

\Rightarrow \begin{pmatrix} 1& x_0& x_0^2& x_0^3\\ 1& x_1& x_1^2& x_1^3\\ 1& x_2& x_2^2& x_2^3\\ 1& x_3& x_3^2& x_3^3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -23\\ -1\\ 5\\ 17 \end{pmatrix}   \Rightarrow \begin{pmatrix} 1& -2& 4& -8\\ 1& 0& 0& 0\\ 1& 2& 4& 8\\ 1& 3& 9& 27 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -23\\ -1\\ 5\\ 17 \end{pmatrix}

解线性方程组得 a_0= -1,a_1=3,a_2=-2,a_3=1.\Rightarrow P(x)=-1+3x-2x^2+x^3

 

2.Polynominterpolation（Lagrange）拉格朗日插值法

参考知乎马同学的回答理解插值原理 https://www.zhihu.com/question/58333118

选择另外一组基I_{i(x)}(拉格朗日基) 描述多项式P(x)  其中  

多项式P(x)即为

上述例子解法：

\Rightarrow p(x)=(-23)\frac{(x-0)(x-2)(x-3)}{(-2-0)(-2-2)(-2-3)}+(-1)\frac{(x+2)(x-2)(x-3)}{(0+2)(0-2)(0-3)}+5\frac{(x+2)(x-0)(x-3)}{(2+2)(x-0)(2-3)}+17\frac{(x+2)(x-0)(x-2)}{(3+2)(3-0)(3-2)}

3.三次样条插值(cubic Spline)

将区间[a,b]分为n个子区间，即(a:=x_0<x_1<x_2<...<x_n=:b)，每一段区间用一个三阶多项式S(x_i)拟合（个人理解：就拿机械臂路径插值来说，三阶多项式二阶连续可导，即加速度没有突变，以防止电机过渡损耗）

S_i(x) = a_{i0} +a_{i1}x+a_{i2}x^2+a_{i3}x^3

[a,b]区间内共有n+1个点，则有n个子区间，一共有4n个未知参数。由公式S_j(x_{j-1})=y_{j-1} , S_j(x_j)=y_j, j=1,...n 可以确定2n个参数。

又因为S(x)二阶可微，得到S'_j(x_j) = S'_{j+1}(x_j), S''_j(x_j) = S''_{j+1}(x_j), j=1,...,n-1, 可确定2(n-1)个参数。

剩下两个参数有多种情况：

  a) S''(x_0) = y''_0,S''(x_n) = y''_n  (假定)

  b) S''(x_0)=S''(x_n) = 0 等等之类...

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