数值分析学习记录——第5章 解线性方程组的直接方法

引言与预备知识

引言

线性方程的数值解法： 直接法和迭代法

向量和矩阵

行列式的性质

矩阵的特征值与谱半径

矩阵A的全体特征值称为A的谱，记做
P(λ)=|λI-A| 称为 A 的特征多项式，P(λ)=0 称为 A 的特征方程

特殊矩阵

特殊矩阵：

定理1

定理2

定理3

定理4

高斯消去法

高斯消去法

定理5

乘数 m_ij 的含义：

定理6

推论

矩阵的三角分解

定理7 (矩阵的LU分解)

列主元消去法

算法1 (列主元素消去法)

定理8 (列主元素的三角分解定理)

讨论：

矩阵三角分解法

直接三角分解法

一旦实现了矩阵 A 的 LU 分解，那么求解 Ax=b 的问题就等价于求解两个三角形方程组：
(1) Ly=b, 求 y;
(2) Ux=y, 求 x;

不选主元的三角分解法

分解公式 (3.2) (3.3) 又称为杜利特尔分解

选主元的三角分解法

算法2 (选主元的三角分解法)

平方根法

利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称正定方程组的一种有效方法

定理9 (对称阵的三角分解定理)

定理10 (对称正定阵的三角分解或楚列斯基分解)

平方根法计算公式

平方根法计算公式(改进)（略）

追赶法

求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组

追赶法公式

定理11

向量和矩阵的范数

向量范数

定义2

定理12 (线性代数)

定义3 (向量的范数)

证明：
(4) $\Vert$ x $\Vert$ = $\Vert$y + (x-y) $\Vert$ $\le$ $\Vert$ y $\Vert$ + $\Vert$ x-y $\Vert$
即：$\Vert$ x $\Vert$ - $\Vert$ y $\Vert$ $\le$ $\Vert$ x-y $\Vert$
$\Vert$ y $\Vert$ = $\Vert$ x + (x-y) $\Vert$ $\le$ $\Vert$ x $\Vert$ + $\Vert$ x-y $\Vert$
即：$\Vert$ y $\Vert$ - $\Vert$ x $\Vert$ $\le$ $\Vert$ x-y $\Vert$
综上，可得 | $\Vert$ x $\Vert$ - $\Vert$ y $\Vert$ | $\le$ $\Vert$ x-y $\Vert$

几种常用的向量范数：

定义4

定理13 ( N(x)的连续性 )

定理14 (向量范数的等价性)

定理15

矩阵范数

定义5 (矩阵的范数)

A 的弗罗贝尼乌斯范数

定义6 (矩阵的算子范数 / 从属范数)

定理16

定理17

定理18

定理19

定理20

误差分析