1.3 向量方程（线性代数及其应用-第5版-系列笔记）

内容概述

本节首先以${\mathbb{R}}^2$和${\mathbb{R}}^3$空间为例，引入了向量的概念、向量的几何表示，并介绍了向量的一些基本运算和性质，例如向量的加法和标量乘法、交换律、结合律等。接着引入了线性组合的概念，并将线性组合和线性方程组结合了起来。

${\mathbb{R}}^2$中的向量

仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量。举例如下：
$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$， $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}0.2\\ 0.3\end{array}\right]$
所有两个元素的向量的集记为${\mathbb{R}}^2$，$\mathbb{R}$表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。
${\mathbb{R}}^2$中两个向量相等当且仅当其对应元素相等，因为${\mathbb{R}}^2$中的向量是实数的有序对。

给定${\mathbb{R}}^2$中两个向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$，它们的和$\mathbf{u}+\mathbf{v}$是把$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$对应元素相加所得的向量。例如，$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$和$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right]$两个向量的和是$\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right]$

给定向量$\mathbf{u}$和实数$c$，$\mathbf{u}$与$c$的标量乘法是把$\mathbf{u}$的每个元素乘以$c$，所得向量记为$c\mathbf{u}$。
例如，
若
$$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right],c=5$$
则
$$c\mathbf{u}=5\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}15\\ -5\end{array}\right]$$

${\mathbb{R}}^2$的几何表示

因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把集合点$(a,b)$与列向量$\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}\\ \mathbf{b}\end{array}\right]$等同。因此，可把${\mathbb{R}}^2$看作平面上所有点的集合。
若${\mathbb{R}}^2$中向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$用平面上的点表示，则$\mathbf{u}+\mathbf{v}$对应于以$\mathbf{u}$, $0$和$\mathbf{v}$为三个顶点的平行四边形的第4个顶点。

${\mathbb{R}}^3$中的向量

${\mathbb{R}}^3$中的向量是$3\times 1$列矩阵，有3个元素，它们表示三维坐标空间中的点，或起点为原点的箭头。

${\mathbb{R}}^n$中的向量

若$n$是正整数，则${\mathbb{R}}^n$表示所有$n$个实数数列（或有序$n$元组）的集合，通常写成$n\times 1$列矩阵的形式，如：
$$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ...\\ u_n\end{array}\right]$$
所有元素都是零的向量称为零向量，用$0$表示（$0$中元素的个数可由上下文确定。）
下列是${\mathbb{R}}^n$中向量的代数性质：

$\mathbf{u}+\mathbf{v}$ = $\mathbf{v}+\mathbf{u}$
$(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
$\mathbf{u}+0=0+\mathbf{u}=\mathbf{u}$
$\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=-\mathbf{u}+\mathbf{u}=0$
$c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$
$(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$
$c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}$
$1\mathbf{u}=\mathbf{u}$

线性组合

给定 ${\mathbb{R}}^n$中向量${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_p$和标量$c_1,c_2,\cdots ,c_p$，向量
$$\mathbf{y}=c{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p$$
称为向量以$c_1,c_2,\cdots ,c_p$为权的线性组合。
从几何上来说，线性组合可以认为是不同向量拉伸和压缩之后的和。

下面的例子把线性组合与前面几节（1.1节、1.2节）的存在性问题联系起来。
设${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -5\end{array}\right]$，${\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ 6\end{array}\right]$，$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}7\\ 4\\ -3\end{array}\right]$，确定$\mathbf{b}$能否写成${\mathbf{a}}_1$和${\mathbf{a}}_2$的线性组合，也就是说，确定是否存在$x_1$和$x_2$，使得
$$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2=\mathbf{b}$$
若该向量方程有解，求它的解。
解：该向量方程可以写为：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1+2x_2\\ -2x_1+5x_2\\ -5x_1+6x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 4\\ -3\end{array}\right]$$
写成矩阵形式为：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ -2& 5& 4\\ -5& 6& -3\end{array}\right]$$
化为简化阶梯形为：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
其解是$x_1=3,x_2=2$，因此$\mathbf{b}$是${\mathbf{a}}_1$与${\mathbf{a}}_2$的线性组合，权为：$x_1=3$和$x_2=2$。

由上例可以得到如下的结论：

向量方程：
$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_n=\mathbf{b}$
和增广矩阵为：
$[{\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2\cdots {\mathbf{a}}_n\mathbf{b}]$
的线性方程组有相同的解集。特别的，$\mathbf{b}$可表示为${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_n$的线性组合当且仅当对应于上述线性方程组有解。

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\}$的线性组合的所有向量。

张成的向量集合

定义：

若${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$是${\mathbb{R}}^n$中的向量，则${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$的所有线性组合所成的集合用记号$Span\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_p\}$表示，称为由${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$所生成（或张成）的${\mathbb{R}}^n$的子集。也就是说，$Span\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_p\}$是所有形如
$$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_P$$
的向量的集合，其中$c_1,c_2,\cdots ,c_p$为标量。

要判断向量$\mathbf{b}$是否属于$Span\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_p\}$，就是判断方程
$$x_1{\mathbf{v}}_1+x_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +x_p{\mathbf{v}}_p=\mathbf{b}$$
是否有解，或等价的，判断增广矩阵$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_p& \mathbf{b}\end{array}\right]$的线性方程组是否有解。

由以上定义，得出两个结论：

1. $Span\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_p\}$包含${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_p$中任意一个向量的倍数。以${\mathbf{v}}_1$为例，用$c{\mathbf{v}}_1$表示任意${\mathbf{v}}_1$的倍数，那么因为$c{\mathbf{v}}_1=c{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2+\cdots +0{\mathbf{v}}_p$，所以该结论成立。
2. $Span\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_p\}$一定包含$0$向量。这时由于$0=0{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2+\cdots +0{\mathbf{v}}_p$。

$Span\{\mathbf{v}\}$与$Span\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$的几何解释

假设$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的向量，那么$Span\{\mathbf{v}\}$就是$\mathbf{v}$的所有标量倍数的集合，也就是${\mathbb{R}}^3$中通过$\mathbf{v}$和$0$的直线上所有点的集合。

若$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的非零向量，$\mathbf{v}$不是$\mathbf{u}$的倍数，则$Span\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$是${\mathbb{R}}^3$中包含$\mathbf{u}$,$\mathbf{v}$和$0$的平面。特别的，$Span\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$包含${\mathbb{R}}^3$中通过$\mathbf{u}$与$0$的直线，也包含通过$\mathbf{v}$与$0$的直线（由上面的结论也可以得知这一点）。

思考：对于一个三行两列的线性方程组，其系数由${\mathbb{R}}^3$中的两列向量组成，那么这两个向量的线性组合的集合最多只可能是一个平面（如果共线的话，可能只是一条直线），不可能扩张到整个${\mathbb{R}}^3$。

还有一点需要注意的是，虽然$Span\{\mathbf{v}\}$只是一条线，$Span\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$只是一个平面，但并不是说$Span\{\mathbf{v}\}$就属于${\mathbb{R}}^1$，$Span\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$就属于${\mathbb{R}}^2$了，它们仍属于${\mathbb{R}}^3$，是${\mathbb{R}}^3$的一个子集而已。

在实际应用中向量和向量组合的意义

设公司生产两种产品，对于1美元价值的产品$B$，公司需耗费0.45美元材料，0.25美元劳动，0.15美元管理费用。对1美元价值的产品$C$，公司耗费0.40美元材料，0.30美元劳动，0.15美元管理费用。设：
$$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}0.45\\ 0.25\\ 0.15\end{array}\right],\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}0.40\\ 0.30\\ 0.15\end{array}\right]$$
则$\mathbf{b}$和$\mathbf{c}$称为两种产品的“单位美元产出成本”。

• 向量$100\mathbf{b}$的经济解释是生产100美元的产品$B$需要的各种成本，即45美元材料、25美元劳动、15美元管理费用。
• 如果公司希望生产$x_1$美元产品$B$和$x_2$美元产品$C$，那么公司花费的总成本是$x_1{\mathbf{b}}_1+x_2{\mathbf{b}}_2$

由这个例子，可以体悟到，${\mathbb{R}}^n$中的$n$，也就是维度，可以代表现实中事物的不同方面（或者成分）。不同的向量可以代表做一件简单事情（或称基本事件，元事件）时，各个方面是如何配合的。而这些向量的组合（也是一个向量），又可以代表做一件复杂的事情时，如何由元事件搭配起来。