置换和轮换（续：对其幂的讨论）

参考论文：置换群快速幂运算的研究与探讨

之前我们介绍过置换和轮换的基本知识以及Burnside引理
Burnside引理：等价类数目为所有置换不动点的平均值
置换的不动点： 颜色数轮换个数 颜 色 数 轮 换 个 数

这里我们要深入研究一下把轮换的运算

例子引出一般结论

我们先给出一个置换群中的结论：

设 e e 为单位置换（长度为1的置换）， T T 为一轮换（或称循环）
Tk=e T k = e ，那么k的最小整数解就是 T T 的长度

为什么会这样呢？
我们先来看几个例子：

此例子中T的长度为6，k=2，结果就分裂成了两个长度相等的轮换

那我们看一下k=3的情况：

这样T就分裂成了3个轮换

那k=4呢？

嗯？为什么得到的答案和k=2时一样呢？

继续：k=5

这次并没有发生分裂

这有什么规律呢？—> gcd(LT,k) g c d ( L T , k )

从中我们可以得到三个结论：

结论一

一个长度为 L L 的轮换 T T ， L L 是 k k 的倍数，则 Tk T k 是 k k 个轮换的乘积，每个轮换分别是循环 T T 中下标 i(mod)k=0,1,2… i ( m o d ) k = 0 , 1 , 2 … 的元素按顺序的连接

结论二

一个长度为 L L 的轮换 T T ， gcd(L,k)=1 g c d ( L , k ) = 1 ，则 Tk T k 是一个轮换，与轮换 T T 不一定相同

结论三

一个长度为 L L 的轮换 T T ， Tk T k 就是 gcd(L,k) g c d ( L , k ) 个轮换的乘积，每个轮换分别是轮换 T T 中下标 i(mod)gcd(L,k)=0,1,2… i ( m o d ) g c d ( L , k ) = 0 , 1 , 2 … 的元素的连接

回到最初我们给出的结论：

Tk=e T k = e ，那么k的最小整数解就是 T T 的长度

这个就非常好理解了： gcd(LT,LT)=LT g c d ( L T , L T ) = L T

当L与k互质时

之前我们得到了一些长度与k之间的结论
其中，当 gcd(L,k)!=1 g c d ( L , k ) ! = 1 时，我们是可以直接构造出结果轮换的
下面我们就讨论一下当 L L 与 k k 互质时的结果轮换

举个例子：

继续：

我们可以发现，把 (mod)k=1,2,...,k−1,0 ( m o d ) k = 1 , 2 , . . . , k − 1 , 0 的项提出来，连接起来则是所求新轮换

定理

设 a=T,a′=Tk a = T , a ′ = T k ，且 gcd(LT,k)=1 g c d ( L T , k ) = 1 ，则 a′[i]=a[(k+1)∗i(mod)LT] a ′ [ i ] = a [ ( k + 1 ) ∗ i ( m o d ) L T ]

我们用图直观理解一下：
L=10,k=3 L = 10 , k = 3

这是一个很有用的结论，我们把ta转化成code：

for 原置换中的每一个轮换
    for 环中每一个未标记元素
    {
         做标记
         放入结果数组
         前进k步
         until 回到此元素
         将结果数组中的元素取出，得到的环就是目标置换包含的一个轮换
    }

这个算法总结了上述三个结论和一个定理

置换的分数幂（开方）

之前我们讨论了轮换的乘方运算
下面我们就讨论开方运算：

轮换长度与指数互质：

有之前的定理可以得到，开方运算是乘方的逆：
由目标轮换构造原轮换：每次原函数指针后移 k k 位，目标函数指针依次后移

轮换长度与指数不互质：

这种情况是无法开方的：

• 结果置换只包含一个轮换：
  假设我们由一个初始轮换 T T ，开k次方，得到一个目标轮换 t t
  由一开始得到结论可知： tk=T′,gcd(Lt,k)!=1 t k = T ′ , g c d ( L t , k ) ! = 1
  按理说得到的 T′ T ′ 应该包含 gcd(Lt,k) g c d ( L t , k ) 个轮换，与题设不符
  因此不可开方

• 结果置换包含若干轮换
  结果置换的 k k 次幂只有可能把自己包含的轮换分裂，不可能合并成一个大轮换

因此，轮换长度与指数不互质时，单个轮换不能看房

多个轮换的分数幂

当轮换的长度与指数不互质时，会分裂成 gcd(L,k) g c d ( L , k ) 个轮换
那么如果我们可以把这些轮换合并起来就可以得到初始轮换了

k=2 k = 2

上图体现了两种开方方式：
上图是把两个轮换交错结合
下图是：结果轮换 Tk T k 的指针 i i 依次后移，而需要构造的轮换的指针 j j 依次后移 k k 位， T[j]=Tk[i] T [ j ] = T k [ i ]

那么我们要开 k k 次方，需要将k个长度相等的轮换合并吗？
实际上并不需要：
如果我们选择 m m 个轮换进行合并，得到的大轮换长度为 L∗m L ∗ m
如果 gcd(L∗m,k)=m g c d ( L ∗ m , k ) = m ，就可以保证次方法正确
显然，m是k的一个约数，并且 gcd(L,k/m)=1 g c d ( L , k / m ) = 1
这个式子的充要条件是： m m 为 gcd(L,k) g c d ( L , k ) 的倍数
因此： min(m)=gcd(L,k) m i n ( m ) = g c d ( L , k )

我们可以将上面两种情况并在一起：

• m=gcd(L,k) m = g c d ( L , k )
• 选择n*m份长度为1的轮换交错合并，n为整数，且 gcd(n∗m,k/m)=1 g c d ( n ∗ m , k / m ) = 1
• 将大轮换开 k/m k / m 次方

将原置换中的轮换按照size排序
for 每一个轮换
    m=gcd(l,k)
    if 有m个相同长度的轮换
        将m个轮换交错的输出到目标数组，保存为一个轮换
        将得到的大轮换开k/m次方
    else 无解