AtCoder Beginner Contest 173 F - Intervals on Tree（树的点导出子图连通块数量）

AtCoder Beginner Contest 173 F - Intervals on Tree

题意：

给出一棵 $N(1\le N\le 2\times 10^5)$个顶点（编号从$1$开始）的树，定义

$f(L,R)$：顶点集 $V^{\prime }=\{L,L+1,L+2,\cdots ,R\}$的导出子图（由 顶点集 $V^{\prime }$ 和 两端点都在顶点集 $V^{\prime }$中的边 构成的子图）的连通块数量。

求：$\sum _{L=1}^N\sum _{R=L}^{N}f(L,R)$。

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分析：

对于一棵树的点导出子图，可以发现每一个连通块一定是一棵树，即树的点导出子图是森林，则有：

• 森林（点导出子图）中树（连通块）的数量 $=$ 总顶点数 $-$ 总边数

设 $g(L,R)$为对应导出子图中的总顶点数，$h(L,R)$为对应导出子图中的总边数，则有：
$$ans=\sum _{L=1}^N\sum _{R=L}^N[g(L,R)-h(L,R)]=\sum _{L=1}^N\sum _{R=L}^{N}g(L,R)-\sum _{L=1}^N\sum _{R=L}^{N}h(L,R)$$
前者即为所有区间 $[L,R]$ 的长度和；后者可计算每条边的贡献（即有多少个区间 $[L,R]$ 的导出子图包含该边）相加；

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代码：

#include 
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;
int N, u[maxn], v[maxn];
int main()
{
    scanf("%d", &N);
    for(int i = 1; i <= N - 1; i++)
        scanf("%d %d", &u[i], &v[i]);
    LL ans = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        ans += (LL) i * (N - i + 1);
    for(int i = 1; i <= N - 1; i++)
    {
        if(u[i] > v[i])
            swap(u[i], v[i]);
        ans -= (LL) u[i] * (N - v[i] + 1);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}