人工智能必备数学知识

数学基础知识

高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：${f^{\prime }}_{-}(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},(x=x_0+\Delta x)$

右导数：${f^{\prime }}_{+}(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\iff f(x)$在$x_0$处可导

Th2: 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: $f^{\prime }(x_0)$存在$\iff {f^{\prime }}_{-}(x_0)={f^{\prime }}_{+}(x_0)$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$
法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0),f^{\prime }(x_0)\ne 0$

5.四则运算法则
设函数$u=u(x)，v=v(x)$]在点$x$可导则
(1) $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$ $d(u\pm v)=du\pm dv$
(2)$(uv{)}^{\prime }=u{v}^{\prime }+v{u}^{\prime }$ $d(uv)=udv+vdu$
(3) $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{v{u}^{\prime }-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}$

6.基本导数与微分表
(1) $y=c$（常数） $y^{\prime }=0$ $dy=0$
(2) $y=x^{\alpha }$($\alpha$为实数) $y^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$ $dy=\alpha x^{\alpha -1}dx$
(3) $y=a^x$ $y^{\prime }=a^x\ln a$ $dy=a^x\ln adx$
特例: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ $d(e^x)=e^{x}dx$

(4) $y={\log }_{a}x$ $y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$
特例:$y=\ln x$ $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$

$y^{\prime }=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$

$y^{\prime }=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$

$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$ $d(\tan x)={\sec }^{2}xdx$
(8) $y=\cot x$ $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$ $d(\cot x)=-{\csc }^{2}xdx$
(9) $y=\sec x$ $y^{\prime }=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$
(10) $y=\csc x$ $y^{\prime }=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$
(11) $y=\arcsin x$

$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$
(12) $y=\arccos x$

$y^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

(13) $y=\arctan x$

$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}dx$

(14) $y=\mathrm{arc}\cot x$

$y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

$d(\mathrm{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+x^2}dx$
(15) $y=shx$

$y^{\prime }=chx$ $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

$y^{\prime }=shx$ $d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
(2) 复合函数的运算法则:若 $\mu =\phi (x)$ 在点$x$可导,而$y=f(\mu )$在对应点$\mu$($\mu =\phi (x)$)可导,则复合函数$y=f(\phi (x))$在点$x$可导,且$y^{\prime }=f^{\prime }(\mu )\cdot {\phi }^{\prime }(x)$
(3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：
1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，$y^2$，$lny$，$e^y$等均是$x$的复合函数.
对$x$求导应按复合函数连锁法则做.
2)公式法.由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{F^{\prime }}_x(x,y)}{{F^{\prime }}_y(x,y)}$,其中，${F^{\prime }}_x(x,y)$，
${F^{\prime }}_y(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数
3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）$(a^x){}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a(a>0)(e^x){}^{(n)}=e{}^x$
（2）$(\sin kx){}^{(n)}=k^n\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{2})$
（3）$(\cos kx){}^{(n)}=k^n\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{2})$
（4）$(x^m){}^{(n)}=m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}$
（5）$(\ln x){}^{(n)}={(-1)}^{(n-1)}\frac{(n-1)!}{x^n}$
（6）莱布尼兹公式：若$u(x),v(x)$均$n$阶可导，则
${(uv)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n{c}_n^i{u}^{(i)}{v}^{(n-i)}$，其中$u^{(0)}=u$，$v^{(0)}=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数$f(x)$满足条件：
(1)函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
$f(x)\le f(x_0)$或$f(x)\ge f(x_0)$,

(2) $f(x)$在$x_0$处可导,则有 $f^{\prime }(x_0)=0$

Th2:(罗尔定理)

设函数$f(x)$满足条件：
(1)在闭区间$[a,b]$上连续；

(2)在$(a,b)$内可导；

(3)$f(a)=f(b)$；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 $f^{\prime }(\xi )=0$
Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数$f(x)$满足条件：
(1)在$[a,b]$上连续；

(2)在$(a,b)$内可导；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：
(1) 在$[a,b]$上连续；

(2) 在$(a,b)$内可导且$f^{\prime }(x)$，$g^{\prime }(x)$均存在，且$g^{\prime }(x)\ne 0$

则在$(a,b)$内存在一个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$

10.洛必达法则
法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型)
设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=0,\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=0$;

$f\left(x\right),g\left(x\right)$在$x_0$的邻域内可导，(在$x_0$处可除外)且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty $)。

则:
$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$。
法则$I^{\prime }$ ($\frac{0}{0}$型)设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足条件：
$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0,\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=0$;

存在一个$X>0$,当$\left|x\right|>X$时,$f\left(x\right),g\left(x\right)$可导,且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$存在(或$\infty $)。

则$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$
法则Ⅱ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型) 设函数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 满足条件：
$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\infty ,\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\infty$;
$f\left(x\right),g\left(x\right)$ 在 $x_0$ 的邻域内可导(在$x_0$处可除外)且$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$;$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 存在(或$\infty $)。则$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$$ 同理法则$I{I}^{\prime }$ ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型)仿法则 $I^{\prime }$ 可写出。

11.泰勒公式

设函数$f(x)$在点$x_0$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于$x_0$的任意点$x$，在$x_0$与$x$之间至少存在
一个$\xi$，使得：
$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0){(x-x_0)}^2+\cdots$
$+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n+R_n(x)$
其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{(x-x_0)}^{n+1}$称为$f(x)$在点$x_0$处的$n$阶泰勒余项。

令$x_0=0$，则$n$阶泰勒公式
$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$……(1)
其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$，$\xi $在0与$x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在$x_0=0$处的泰勒公式

(1) $e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{\xi }$

或 $=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{x^n}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o(x^n)$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{x^n}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o(x^n)$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +{(-1)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\frac{{(-1)}^n{x}^{n+1}}{(n+1){(1+\xi )}^{n+1}}$

或 $=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +{(-1)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

(5) ${(1+x)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n$
$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{x}^{n+1}{(1+\xi )}^{m-n-1}$

或${(1+x)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots$ ，$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

12.函数单调性的判断
Th1: 设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f{}^{\prime }(x)>0$（或$f{}^{\prime }(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

Th2: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取极值，则$f{}^{\prime }(x_0)=0$。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在$x_0$的某一邻域内可微，且$f{}^{\prime }(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续，但$f{}^{\prime }(x_0)$不存在。）
(1)若当$x$经过$x_0$时，$f{}^{\prime }(x)$由“+”变“-”，则$f(x_0)$为极大值；
(2)若当$x$经过$x_0$时，$f{}^{\prime }(x)$由“-”变“+”，则$f(x_0)$为极小值；
(3)若$f{}^{\prime }(x)$经过$x=x_0$的两侧不变号，则$f(x_0)$不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点$x_0$处有$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$，且$f{}^{\prime }(x_0)=0$，则 当$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)<0$时，$f(x_0)$为极大值；
当$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)>0$时，$f(x_0)$为极小值。
注：如果$f^{\prime }{}^{\prime }(x_0)<0$，此方法失效。

13.渐近线的求法
(1)水平渐近线 若$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b$，则

$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$$，或$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$$，则

$x=x_0$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]$，则
$y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断
Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上$f^{\prime \prime }(x)<0$（或$f^{\prime \prime }(x)>0$），则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在$x_0$处$f^{\prime \prime }(x)=0$，（或$f^{\prime \prime }(x)$不存在），当$x$变动经过$x_0$时，$f^{\prime \prime }(x)$变号，则$(x_0,f(x_0))$为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设$f(x)$在$x_0$点的某邻域内有三阶导数，且$f^{\prime \prime }(x)=0$，$f^{\prime \prime \prime }(x)\ne 0$，则$(x_0,f(x_0))$为拐点。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y{{}^{\prime }}^2}dx$

16.曲率

曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率$k=\frac{|y^{\prime \prime }|}{{(1+y{{}^{\prime }}^2)}^{\frac{3}{2}}}$。
对于参数方程KaTeX parse error: No such environment: align at position 15: \left\{ \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ & x=\varphi (…
$k=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{{[\phi {{}^{\prime }}^2(t)+\psi {{}^{\prime }}^2(t)]}^{\frac{3}{2}}}$。

17.曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho$有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$。