图的连通性问题（一）

一、无向图的连通分量和生成树

对于无向图，在进行遍历时：若是连通图，仅需从图中任一顶点出发，就能访问图中所有顶点；若是非连通图，需从图中多个顶点出发，每次从一个新顶点出发访问的顶点集

序列恰好是各个连通分量的顶点集。

⑴ 若G=(V,E)是无向连通图， 顶点集和边集分别是V(G) ，E(G) 。若从G中任意点出发遍历时， E(G)被分成两个互不相交的集合：
T(G) ：遍历过程中所经过的边的集合；
B(G) ：遍历过程中未经过的边的集合；
    显然： E(G)=T(G)∪B(G) ，T(G)∩B(G)=Ø
    显然，图G’=(V, T(G))是G的极小连通子图，且G’是一棵树。G’称为图G的一棵生成树。从任意点出发按DFS算法得到生成树G’称为深度优先生成树；按BFS算法得到的G’称为广度优先生成树。

⑵  若G=(V,E)是无向非连通图，对图进行遍历时得到若干个连通分量的顶点集：V1(G) ,V2(G) ,…,Vn(G)和相应所经过的边集：T1(G) ,T2(G) , …,Tn(G) 。
    则对应的顶点集和边集的二元组：Gi=(Vi(G),Ti(G))(1≦i≦n)是对应分量的生成树，所有这些生成树构成了原来非连通图的生成森林。

二、图的生成树和生成森林实现

1、深度优先生成树（树的结构用孩子--兄弟表示法：即结构有数据域和两个指针，一个指针指向第一个孩子结点，另一个指针指向一个兄弟结点）

//生成树的结点定义
typedef struct CSNode
{
    ElemType data;
    struct CSNode *firstchild;
    struct CSNode *nextsibling;
}CSNode;
//DFSTree
CSNode *DFSTree(ALGraph *G,int v)
{
    CSNode *T,*ptr,*q;
    LinkNode *p;
    Visited[v]=true;
    T=(CSNode *)malloc(sizeof(CSNode));
    T->data=G->AdjList[v].data;
    T->firstchild=T->nextsibling=NULL;
    q=NULL;
    p=G->AdjList[v].firstarc;
    while(p!=NULL)
    {
        int w=p->adjvex;
        if(!Visited[w])
        {
            ptr=DFSTree(G,w);
            if(q==NULL)
                T->firstchild=ptr;
            else T->nextsibling=ptr;
            q=ptr;
        }
        p=p->nextarc;
    }

return T;
}

2、广度优先生成树

//BFSTree
typedef struct Queue
{
    int elem[MAX_VEX];
    int front,rear;
}Queue;
CSNode *BFSTree(ALGraph *G,int v)
{
    CSNode *T,*ptr,*q;
    LinkNode *p;
    Queue *Q;
    Q=(Queue *)malloc(sizeof(Queue));
    Q->front=Q->rear=0;
    Visited[v]=true;
    T=(CSNode *)malloc(sizeof(CSNode));
    T->data=G->AdjList[v].data;
    T->firstchild=T->nextsibling=NULL;
    Q->elem[++Q->rear]=v;
    while(Q->front!=Q->rear)
    {
        int w=Q->elem[++Q->front];
        q=NULL:
        p=G->AdjList[w].firstarc;
        while(p!=NULL)
        {
            k=p->adjvex;
            if(!Visited[k])
            {
                Visited[k]=true;
                ptr=(CSNode *)malloc(sizeof(CSNode));
                ptr->data=G->AdjList[k].data;
                ptr->firstchild=ptr->nextsibling=NULL;
                if(q==NULL)
                    T->firstchild=ptr;
                else T->nextsibling=ptr;
                q=ptr;
                Q->elem[++Q->rear]=k;
            }
            p=p->nextarc;
        }
    }
return T;
}

3、生成森林

//生成森林
CSNode *DFSForest(ALGraph *G)
{
    CSNode *T,*ptr,*q;
    for(int w=0;wvexnum;w++)
        Visited[w]=false;
    T=NULL;
    for(int w=0;wvexnum;w++)
    {
        if(!Visited[w])
        {
            ptr=DFSTree(G,w);
            if(T==NULL)
                T=ptr;
            else q->nextsibling=ptr;
            q=ptr;
        }
    }
    return T;
}