怎样用非数学语言讲解贝叶斯定理（Bayes theorem）

怎样用非数学语言讲解贝叶斯定理（Bayes theorem）？

一机器在良好状态生产合格产品几率是90%，在故障状态生产合格产品几率是30%，机器良好的概率是75%，若一日第一件产品是合格品，那么此日机器良好的概率是多少？
这是贝叶斯定理的一个典型应用。如何在逻辑上进行推理，而不套用公式得到答案呢？这是我们今天的工作。

1 三个要素

概率的问题其实只要把握好概率空间的三要素样本：空间、事件、概率就可以了。
那这三要素是什么意思呢？这里简单做个介绍。
还是经典的掷硬币。
样本空间就是事件条件下所得到的所有结果，因此掷一次硬币的样本空间为{正面，反面}。
而概率空间中的事件与我们平时生活中所说的事件没有任何分别。这里指的是此掷一次硬币。
概率，就是事件发生后，出现结果的个数与样本空间个数的比值。
假如此次为掷硬币的结果为正面，因为正面这个结果只发生了一次，而样本空间的个数是2，所以掷一次硬币出现正面的概率就为1/2.

2 题目中的三要素

知道了概率空间的结构，我们来找找开篇题目中的三要素。
若一日第一件产品是合格品，那么此日机器良好的概率是多少？
这句话告诉我们，在产品是合格品的范围内，找到机器良好的发生概率。
可见所有的合格品是样本空间。而机器良好是事件。

2.1 一个小tips

因为在概率论的题目中，经常出现不同样本空间下的概率数字，这样有时会产生困惑。因此，建议初学者使用一个基础数据，统一量纲。
这里的题目对象是产品，据此假设有1000件产品。开始我们的计算。
2.2 样本空间
我们把题目的信息都给加上去。首先我们的对象是产品。(后面没有标注单位的默认为件)

机器良好的概率是75%, 则故障的概率为25%

良好状态生产合格产品几率是90%。

在故障状态生产合格产品几率是30%

需要注意的是，这里90% 所对应的样本空间为良好状态。30% 所对应的样本空间为故障状态。
放到同一张图中

因为最后要找的样本空间为所有的合格品，因此去掉对我们没有意义的机器是否正常的划分。

整个样本空间的大小为缩小为750件合格产品。

而机器正常时，生产出正常产品为675件.

因此答案就是 事件大小/样本大小 = 675/750=90%

3 贝叶斯定理

3.1 条件概率

条件概率指在A事件发生的情况下，B事件发生的概率。

“A事件发生的情况下”,代表A为样本空间，“B事件发生的概率”,代表 $A\cap B$ 为事件。
因此 $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
做一下公式变形 $P(A\cap B)=P(B|A)P(A)$

3.2 贝叶斯定理

文章开头说了，这是一个贝叶斯定理的典型应用。
那贝叶斯定理到底是什么呢？



可见 $P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap B)+P(D\cap C)$
由条件概率的公式也可以写成
$$P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)$$
算出来的结果就是事件D在样本空间S下发生的概率。

先发生A再发生D的事件

计算事件在样本空间下的概率

那么M发生在A中的概率
$$P(A|D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}$$
$$=\frac{P(D|A)P(A)}{P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)}$$

这就是贝叶斯公式！

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参考：https://www.matongxue.com/madocs/279.html