LeetCode #1025 除数博弈（记一道动态规划标签下的数学题）

题目链接：

https://leetcode-cn.com/problems/divisor-game/

题目描述：

#1025 除数博弈
爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。
示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

提示：

1 <= N <= 1000
通过次数21,552 提交次数31,729

分析：

本来是想做做动态规划的题，在动态规划标签下面看到了这个题，结果分析了半天，动态规划做法没想出来，却用数学方式A了。

首先我们知道，拿到2的人赢，拿到1的人输；

下面是几个数学知识：
奇 * 奇 = 奇，奇 * 偶 = 偶，偶 * 偶 = 偶，
奇 - 奇 = 偶，偶 - 偶 = 偶，偶 - 奇 = 奇

我们可以发现，一个奇数的约数一定是奇数，偶数的约数可能是奇数也可能是偶数。

拿到奇数的人只能选择奇数，选完了以后数就变成了偶数，因为：奇 - 奇 = 偶。

而拿到了偶数的人，可以选择奇数或者偶数，由于偶 - 偶 = 偶，偶 - 奇 = 奇，题目说了是最佳状态，所以这个人一定会拿奇数，让对手只有奇数。

故奇数先手必输。

同理，偶数先手的人必赢。 因为是最佳状态，虽然可以选择奇数和偶数，但为了让自己赢肯定会选择让对手一直拿奇数。

综上所述，奇数先手必输，偶数先手必赢。

举个例子：

N = 1，没得选，爱丽丝输
N = 2，只能选1，鲍勃没得选，爱丽丝赢
N = 3，只能选1，鲍勃也只能选1，爱丽丝没得选了，爱丽丝输
N = 4，可以是“2 1”或者“1 1 1”，爱丽丝会选能让自己赢的，即选1，还剩3，后面的只可能是“1 1”，爱丽丝赢
N = 5，只能选1，还剩4，鲍勃会选能让自己赢的，所以从“2 1”和“1 1 1”中选择了后者，即鲍勃选1，还剩3，只能是“1 1”，爱丽丝赢（3 1 1 / 1 1 1 1 1）
N = 6，爱丽丝选3或者1都必赢，她就不会选2，最终爱丽丝赢
N = 7，只能选1，还剩6，鲍勃选也肯定选让自己赢的3或者1，爱丽丝输（1 3 1 1 / 1 1 1 1 1 1）
N = 8，爱丽丝赢（1 1 3 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1）
…
如果无法用数学的方式理解这个题，通过这么多的例子也可以发现规律，特别是笔试时，如果有用规律能解决的，不要怕，大胆猜，没准就能通过个60%的测试用例呢，拿几分也不亏啊。

代码：

没什么好看的…就是判断 N 的奇偶，然后奇数返回false，偶数返回true。

/*
*每个人都是最佳状态，都会走能让自己赢的一步
*发现规律：逢偶必赢，逢奇必输
*如何判断奇偶：偶数 & 1 = 0；奇数 & 1 = 1
*/
class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        return (N & 1) == 0;
    }
}                                                                                           

这个提交结果再次印证了之前的说法，那就是LeetCode的内存消耗是包含测试用例的，本题我们没有开辟任何的空间，但是依然用了36.3MB，再就是超过10%的用户可能只算了比我们提交的用的多的人，和我们用的一样的没算上，也就是说 >36.3MB 的有 10% 的用户，剩下的 90% 大多都是 ≈36MB 的。