【数学】立体角，积分求球的表面积、体积

对于做实时光线跟踪的理论学习来说，立体角是个非常基础又重要的概念，因此我们要对其进行惮述。在平面圆中我们定义了角的一个衡量标准：弧度。也即当圆的半径时，该圆心角的弧长的值即为弧度。

针对三维中球面的概念，我们定义了立体角。先看图：

假若球的半径为，那么我们定义如图所示的锥形，也即：由水平角和垂直角的变化量和交叉形成的一小块区域，现在来估算它的面积

近似的我们认为它是个长方形，其中由决定的这一边的弧长= （弧度的定义就是其所对的单位圆的弧的长度），而另一边则要求其所围圆的半径，也即图中以红色线为半径的水平圆，则其半径,那么

（公式一）

由此我们定义立体角，也即：其对应的单位球球面上的一块面积即为立体角。与平面角是单位圆上的一段弧长类似。其单位是球面度sr，在有些时候也叫平方度。

【单位球的立体角】

现在我们来计算单位球的立体角的角度为多少：

【积分求球的表面积】

由上面公式1的微元，我们可以对其进行积分：

【积分求球的体积】

第一步：求体积微元

可以看成立体角椎的体积，由立体角椎的表面积微元（公式一）乘以高r，再乘以1/3也即

对其进行积分

【根据场外微元A及其法向求在单位球面上的投影立体角】

可以直观的得到投影立体角