LeetCode 120. 三角形最小路径和
目录结构
1.题目
2.题解
2.1动态规划
2.2Dp+优化1
2.3Dp+优化3
1.题目
给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。
示例：
给定三角形：
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。说明：
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。
来源：力扣（LeetCode）
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2.题解
2.1动态规划
用dp[i][j]表示走到位置(i,j)的最小路径和，即三角形的第i行第j列的位置（均从0开始），且第i行有i+1个元素。
根据题设约束，状态转移方程如下：
- 当j = 0时，dp[i][0] = dp[i−1][0] + triangle[i][0]；
- 当0 < j < i时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]；
- 当j = i时，dp[i][i] = dp[i-1][i-1] + triangle[i][i]。
public class Solution120 {
@Test
public void test120() {
List> triangle = new ArrayList<>();
List list1 = Collections.singletonList(2);
List list2 = Arrays.asList(3, 4);
List list3 = Arrays.asList(6, 5, 7);
List list4 = Arrays.asList(4, 1, 8, 3);
triangle.add(list1);
triangle.add(list2);
triangle.add(list3);
triangle.add(list4);
System.out.println(minimumTotal(triangle));
}
public int minimumTotal(List> triangle) {
int n = triangle.size();
int[][] dp = new int[n][n];
dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle.get(i).get(0);
for (int j = 1; j < i; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle.get(i).get(j);
}
dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle.get(i).get(i);
}
int minSum = dp[n - 1][0];
for (int t : dp[n - 1]) {
minSum = Math.min(minSum, t);
}
return minSum;
}
} - 时间复杂度：
- 空间复杂度：
2.2Dp+优化1
从2.1状态转移方程可知，每轮运算只与上一轮的结果有关，故不用存储上一轮之前的结果。只用开辟两个长度为n的数组，交替使用即可。
public class Solution120 {
@Test
public void test120() {
List> triangle = new ArrayList<>();
List list1 = Collections.singletonList(2);
List list2 = Arrays.asList(3, 4);
List list3 = Arrays.asList(6, 5, 7);
List list4 = Arrays.asList(4, 1, 8, 3);
triangle.add(list1);
triangle.add(list2);
triangle.add(list3);
triangle.add(list4);
System.out.println(minimumTotal(triangle));
}
public int minimumTotal(List> triangle) {
int n = triangle.size();
int[][] dp = new int[2][n];
dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int curr = i % 2;
int prev = 1 - curr;
dp[curr][0] = dp[prev][0] + triangle.get(i).get(0);
for (int j = 1; j < i; ++j) {
dp[curr][j] = Math.min(dp[prev][j - 1], dp[prev][j]) + triangle.get(i).get(j);
}
dp[curr][i] = dp[prev][i - 1] + triangle.get(i).get(i);
}
int minSum = dp[(n - 1) % 2][0];
for (int t : dp[(n - 1) % 2]) {
minSum = Math.min(minSum, t);
}
return minSum;
}
} - 时间复杂度：
- 空间复杂度：
2.3Dp+优化3
由于后面的行都比前面行元素多1；且当计算第i行第j列时，只需要第i-1行第j-列的结果和第i-1行第j列的结果，如果让j从i递减到0，即结果数组逆序填充，则前面的值在使用后才被填充，不会影响结果，故可进一步优化空间为一个n长度数组。
public class Solution120 {
@Test
public void test120() {
List> triangle = new ArrayList<>();
List list1 = Collections.singletonList(2);
List list2 = Arrays.asList(3, 4);
List list3 = Arrays.asList(6, 5, 7);
List list4 = Arrays.asList(4, 1, 8, 3);
triangle.add(list1);
triangle.add(list2);
triangle.add(list3);
triangle.add(list4);
System.out.println(minimumTotal(triangle));
}
public int minimumTotal(List> triangle) {
int n = triangle.size();
int[] dp = new int[n];
dp[0] = triangle.get(0).get(0);
for (int i = 1; i < n; ++i) {
dp[i] = dp[i - 1] + triangle.get(i).get(i);
for (int j = i - 1; j > 0; --j) {
dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + triangle.get(i).get(j);
}
dp[0] = dp[0] + triangle.get(i).get(0);
}
int minSum = dp[0];
for (int t : dp) {
minSum = Math.min(minSum, t);
}
return minSum;
}
} - 时间复杂度：
- 空间复杂度：