最短路径问题【Dijkstra】

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$$Description$$

平面上有n个点(N<=100)，每个点的坐标均在-10000~10000之间。其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点直线的距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径。

$$Input$$

输入文件short.in，共有n+m+3行，其中：
第一行为一个整数n。
第2行到第n+1行（共n行），每行的两个整数x和y，描述一个点的坐标(以一个空格隔开)。
第n+2行为一个整数m，表示图中的连线个数。
此后的m行，每行描述一条连线，由两个整数I,j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线。
最后一行：两个整数s和t，分别表示源点和目标点。

$$Output$$

输出文件short.out仅一行，一个实数(保留两位小数)，表示从S到T的最短路径的长度。

$$SampleInput$$

5
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5

$$SampleOutput$$

3.41

---

最短路Dijkstra
在我的这篇博客里说过
我们要学习4种最短路算法，
今天，我们就来看看第二种最短路算法

——Dijkstra

Dijkstra用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，是一种单源最短路径算法。也就是说，只能计算起点只有一个的情况。
Dijkstra的时间复杂度是$O(N2)$，它不能处理存在负边权的情况。

让我们用图+文字的方式来解释一下。

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算法开始时，作为起点的$dis[1]=0$，其他的点$dis[i]=0x7fffffff$

这时$dis[3]$，$dis[5]$被它们的最后一个中转点2修改为了最短路径。
这时$dis[4]$也被它的最后一个中转点3修改为了最短路径。
蓝白点思想

具体实现：

#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,x,y,s,e,k,a[110][3];
int minn,maxx;
double f[101][101];
double c[101];
bool b[101];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	   cin>>a[i][1]>>a[i][2];
    memset(f,100,sizeof(f));
    cin>>m;
    for(int i=1; i<=m; i++)
     {
     	cin>>x>>y;                                     //预处理x.y间距离f[x][y]
     	f[x][y]=f[y][x]=sqrt(double((a[x][1]-a[y][1])*(a[x][1]-a[y][1]))+double((a[x][2]-a[y][2])*(a[x][2]-a[y][2])));
     }
    cin>>s>>e;
    for(int i=1; i<=n; i++)
       c[i]=f[s][i];
    memset(b,0,sizeof(b));                            //dijkstra 最短路
    b[s]=1;
    c[s]=0;
    for(int i=1; i<=n-1; i++)
     {
     	minn=10000000;
     	k=0;
     	for(int j=1; j<=n; j++)
     	 if(b[j]==0&&c[j]<minn)
     	  {
     	  	minn=c[j];
     	  	k=j;
     	  }
     	if(k==0) break;
     	b[k]=1;
        for(int j=1; j<=n; j++)
         if(c[k]+f[k][j]<c[j]&&b[j]==0)
           c[j]=c[k]+f[k][j];
     }
    printf("%.2lf",c[e]); 
	return 0;
}