算法：Tarjan算法

$一、无向图:$

$目标：$

• 找关节点
• 找关节点对应联通分量
• 找点或边的重联通分量
• 找割边

时间：邻接矩阵O(N^2)、邻接表O(E)

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$关节点：$去掉该点后，剩余图不是个联通图，剩余联通图的数量为所求联通分量。

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$基本思想$，采用一次DFS计算每个点在搜索树中的层级。
维护：
dfn[x]：表示点x在搜索树中搜索次序，依次递增
low[x]：表示点x必须通过子节点路径可以到达的最小层次(最祖先节点)。
subnets[x]：表示去掉点x后的联通图数量

$充要条件：$

• 若点x是DFS搜索树的根，则x有至少2个孩子时，x是关节点，联通数量为其孩子数量。
• 若点x非DFS搜索树的根，则x的孩子y，存在low[y] >= dfn[x]，则x是关节点，联通数量为满足条件y的数量+1

$解释：$

• 若x为根，好理解，当x不是关节点时，DFS时，x一定最多有1个孩子。
• 若x非根，重点解释low[y]>=dfn[x]，low[y]表示点y通过向下走的方式可以到达的最祖先的节点z，当这个z还没有x的层级小，即z不是x的祖先，则去掉x后，y不能联系到x的祖先，x是关节点。

$如何维护low和dfn数组？$

DFS向下搜索时，初始化dfn和low数组，dfn和low都等于搜索次序，以后dfn固定不变。
DFS回溯时，更新low数组，low在两种情况中取最小：

• 孩子中low最小的
• 邻接点中dfn最小的

$割边：$

当low[y] > dfn[x]时，xy边为割边

$点重联通分量：$

另行维护一个栈，DFS正向搜索时，把搜索树边和回边压入栈中，回溯时，若遇到关节点，则弹出边直到遇到关节点与其孩子的边，则这些边组成了一个重联通分量。

回边：非搜索树的边(非科学定义，可自行拓展)

$边重联通分量：$

去除割边后，剩下就是边联通图

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$二、有向图：$

找有向图强联通分量