【POJ1322】Chocolate (生成函数)
Description
有 c c c种颜色的巧克力, 每种颜色有无限个. 现在每次取出一个巧克力, 其颜色等概率为 1 … c 1\dots c 1…c中的一种.
问最终有 m m m种颜色的巧克力个数为奇数的概率.
n ≤ 1 0 6 , c ≤ 100 n\le 10^6, c\le 100 n≤106,c≤100
Solution
睿智dp题。
设 f i , j f_{i,j} fi,j表示当前取了 i i i个、有 j j j种颜色是奇数个的概率，直接dp即可，时间复杂度 O ( n c ) O(nc) O(nc)。
Code
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* Au: Hany01
* Prob: poj1322
* Date: Nov, 18th, 2018
* Email: [email protected]
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#includeTrue-Solution
这题的时间复杂度可以做到 O ( c log ) O(c\log ) O(clog)。
首先要保证 m ≤ c , m ≤ n m\le c, m\le n m≤c,m≤n且 n , m n,m n,m同奇偶，否则概率为 0 0 0。
由于是排列，考虑指数型生成函数。
对于出现奇数次的巧克力，其指数型生成函数为：
f 1 ( x ) = e x − e − x 2 f_1(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} f1(x)=2ex−e−x
出现偶数次的巧克力的生成函数为：
f 2 ( x ) = e x + e − x 2 f_2(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} f2(x)=2ex+e−x
方案数即为 ( c m ) × [ x n ] ( f 1 ( x ) m × f 2 ( x ) c − m ) × n ! \binom{c}{m}\times [x^n](f_1(x)^m\times f_2(x)^{c-m})\times n! (mc)×[xn](f1(x)m×f2(x)c−m)×n!。
(在 c c c中颜色中选择 m m m个取奇数次， n ! n! n!是指数型生成函数需要乘的)
这时，时间复杂度的瓶颈在于 n n n，考虑怎么把 n n n去掉。
我们可以将 f 1 ( x ) m × f 2 ( x ) c − m = ( e x − e − x 2 ) m × ( e x + e − x 2 ) c − m f_1(x)^m\times f_2(x)^{c-m}=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^m\times \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^{c-m} f1(x)m×f2(x)c−m=(2ex−e−x)m×(2ex+e−x)c−m看作一个关于 e x e^x ex的多项式。 e k x e^{kx} ekx的系数对第 n n n项的贡献是 k n n ! \frac{k^n}{n!} n!kn，就可以把 n ! n! n!消掉了！
用FFT计算系数做到 c log c\log clog（上面的代码是 O ( c 2 ) O(c^2) O(c2)计算的）。