最小生成树（MST）

基本概念：

在无向图中，连通且不含圈的图称为 “树” 。  

给定无向图G=(V,E), 连接G中所有点，且边集是E的子集的树称为G的  “生成树” 。

在G的所有生成树中，权值最小的那颗树称为  “最小生成树” 。 

构造MST的算法有很多，最常见的有两个 ： Kruskal算法   和   Prime算法  。

Kruskal算法：（适用于稀疏图）

原理： 

1. 将图中所给出的所有边按照从小到大的顺序排列，然后依次考察每条边（u,v）。

2. 

情况1. u和v在同一个连通分量中，那么加入（u,v）后会形成环，因此不能选择。

情况2. u和v在不同的连通分量中，那么就加入（u,v）。

相关算法： 并查集

并查集： 并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合，也就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。

模板代码如下：

int u[MAX],v[MAX],w[MAX]; //u[i]表示一条边的起点，v[i]表示一条边的终点，w[i]表示改变的权值，i表示该边的编号。

int cmp(const int i,const int j)   //间接排序函数
{
    return w[i]

Prime算法： （适合稠密图）

prime算法和边数无关，只和顶点数量有关。

基本原理：

1. 将一个图的顶点分为两部分，一部分是最小生成树中的结点（A集合），另一部分是未处理的结点（B集合）。

2. 首先选择一个顶点放入集合A中，然后遍历集合B中的所有顶点，找出与A中顶点关联的所有边中权值最小的一条边（顶点为v），将v从B集合中删除并加入A集合。

3.递归重复步骤2，直到B集合中的顶点为空，结束此过程。

模板代码如下：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define INF 0xffffff
#define MAXN 110
int map[MAXN][MAXN], lowcost[MAXN];
bool visit[MAXN];
int nodenum, sum;

void prim()
{
	int temp, k;
	sum = 0;
	memset(visit, false, sizeof(visit)); //初始化visit
	visit[1] = true;
	for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化lowcost[i]
		lowcost[i] = map[1][i];
	for(int i = 1; i < nodenum; ++i)//找生成树集合点集相连最小权值的边
	{
		temp = INF;
		for(int j = 1; j <= nodenum; ++j)
			if(!visit[j] && temp > lowcost[j])
				temp = lowcost[k = j];
		if(temp == INF) break;
		visit[k] = true;                  //加入最小生成树集合
		sum += temp;                      //记录权值之和
		for(int j = 1; j <= nodenum; ++j) //更新lowcost数组
			if(!visit[j] && lowcost[j] > map[k][j])
				lowcost[j] = map[k][j];
	}
}