MIT18.06 线性代数笔记 前13课

因为是在学校学完了线代再来看视频，因此可能有些地方写的十分简略，想看详细的笔记可以去https://github.com/apachecn/math，这同学的笔记还是蛮全的。强推MIT18.06，可能不适合初学者，但是会给你一个完全不一样的线性代数。

1 方程组的几何解释

除了用普通的视角来看，还可以看作是向量的线性组合等于一个向量
有没有解就是看b是不是能由A中列向量线性组合出，也就是b是不是在A列向量的张量中

2 矩阵消元

高斯消元法，得到上三角距离U，尤其重要的是利用矩阵左乘操作行向量来实现消元步骤。
初等矩阵的逆很好求
左行右列。左乘行向量表示对原矩阵的行向量进行线性组合，右乘列向量表示对原矩阵的列向量进行线性组合。

3 矩阵乘法及逆矩阵

5种乘法：行乘列（对乘加），列乘行（外积的和），A和B中各个列相乘（A中各列的线性组合），A中各行和B相乘（B中各行线性组合），分块乘法
A不可逆则Ax=0有非零解，A可逆只有零解
矩阵求逆等价于求一系列Ax=b的方程组，不过A是相同的，只有b在变，b就是I的各列，所以可以把A和I放在一起，把A变成I，那么I就变成了A的逆，相当于一次求出A相同的多个方程组的解.$E$是消元矩阵，那么$$E[AI]=[I{A}^{-1}]$$，消元矩阵$E$就是$A^{-1}$

4 A=LU分解

$L$是下三角矩阵，对角线都是1，U是上三角矩阵。$L=E^{-1}$，$L$有一个非常好的性质，求$L$只需要把各列消元用到的乘数写在相应位置即可，如果没有乘过初等置换矩阵的话（结合矩阵乘法可以看作L的各行和U相乘，就是做U中各行的线性组合）。
n阶初等置换矩阵做成一个群。乘法封闭，逆封闭。

5 转置 置换 向量空间R

初等置换矩阵的逆等于其转置
除了初等置换矩阵之外，还有一些矩阵也具有这样的性质
$A{A}^T$一定是对称矩阵，因为$(A{A}^T)=(A^T{)}^T{A}^T=A{A}^T$
向量空间满足8个条件，核心思想是向量的线性组合运算是要封闭的。
$R^n$的子空间有原点，过原点的直线，以及过原点的各个不同维数的超平面，任何一个子空间都包含$R^n$的零向量
列空间指矩阵各列的列向量组成的向量空间，就是各列列向量的张量（线性组合），同理有行空间

6 列空间 零空间

两种获得子空间的方式，向量的线性组合（列空间），齐次线性方程组的解（零空间）
线性方程组有解：b在A的列空间中
线性相关：去掉一个向量，不影响其余向量通过线性组合生成子空间，换言之，这个向量在其余向量生成的子空间中
矩阵的列秩：几个列向量对子空间生成有贡献

7 Ax=0

消元过程中改变的是列空间，行空间的零空间不变
化简行阶梯形$R=[IF]$
则特解构成的矩阵就是$\left[\begin{array}{c}-F\\ I\end{array}\right]$
上下两个$I$不一定是同阶的

8 Ax=b

$Ax=b$ 有解 等价于 $b$在$A$的列空间中
等价于 $b$是$A$中各列的线性组合
等价于 系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等

解的结构是 一个特解 + A的零空间内的所有向量
也就是 $x_p + $对应齐次线性方程组的通解图像上，$Ax=b$（$x$是$n$维向量）的解是$R^n$里一个子空间的沿$x_p$方向平移得到的一个“平面”也就是零空间在$R^n$内沿$x_p$方向平移
零空间的维数取决于自由变量的个数

矩阵的秩$r$：消元后矩阵主元元素的个数
那么自由变量的个数就是$n-r$
零空间就是$R^n$中的$n-r$维子空间
$Ax=b$有解，则解的个数取决于$A$的零空间是$R^n$的几维子空间

$n\ast n$方阵满秩，对应的零空间只有零向量，对应的列空间是$R^n$，所以有且只有一个解
$m\ast n(m<n)$维矩阵若行满秩，对应的零空间是$R^n$的$n-m$维子空间，对应的列空间是$R^m$，由列空间知一定有解，由零空间知一定有无穷多解
$m\ast n(n<m)$维矩阵若列满秩，对应的零空间只含有零向量，对应的列空间是$R^m$的$n$维子空间，由列空间知$b$属于列空间才有解，由零空间知若有解也只有一个解
$m\ast n$维矩阵行列均不满秩，设其秩为$r(r<m,r<n)$，对应的零空间是$R^n$的$n-r$维子空间，对应的列空间是$R^m$的$r$维子空间，由列空间知$b$属于列空间才有解，由零空间知有解必有无穷多解

线性方程组解的个数为0，1，或无穷

9 线性相关性、基、维数

线性无关 等价于 $Ax=0$ 只有0解
等价于零空间只有零向量
等价于没有自由变量
等价于列满秩

基是生成一个空间的向量，且这些向量线性无关，一个空间可以有很多组基，但是基中向量的个数都是一样的。一个空间的基中向量的个数称为向量的维数

矩阵$A$的列空间的维数就是主元列的个数，就是$A$的秩$r$
矩阵$A$的零空间的维数就是自由变量的个数，就是$n-r$

10 四个基本子空间

有$m\times n$维矩阵$A$, $rank(A)=r$.
$A$的列空间是$A$中所有列向量张成的空间，记作$C(A)$，$C(A)$是$R^m$的$r$维子空间.
$A$的行空间是$A$中所有行向量张成的空间，记作$C(A^T)$，$C(A^T)$是$R^n$的$r$维子空间.
$A$的零空间是$Ax=b$中所有解向量张成的空间，记作$N(A)$，$N(A)$是$R^n$的$n-r$维子空间.
$A$的左零空间是$A^{T}x=b$中所有解向量张成的空间，记作$N(A^T)$，$N(A^T)$是$R^m$的$m-r$维子空间.

$A$中任意$r$个线性无关的列向量都是$C(A)$的一组基.
$A$中任意$r$个线性无关的行向量都是$C(A^T)$的一组基.
$Ax=b$中的基础解系，共$n-r$个向量构成N(A)的一组基.
$A^{T}x=b$中的基础解系，共$m-r$个向量构成N(A^T)的一组基.
$dimC(A)+dimN(A^T)=m$
$dimC(A^T)+dimN(A)=n$
事实上，$C(A)$与$N(A^T)$正交，$C(A^T)$与$N(A)$正交.

11 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

$dimS+dimU=dim(S+U)+dim(S\cap U)$.
其中$+$表示两个子空间所张成的子空间，$\cap$表示两个子空间的并集.
空间的概念不仅仅局限于向量空间，矩阵空间. 高数中微分方程的通解同样组成了一个线性空间.

秩1矩阵可以表示为一个列向量乘一个行向量. 同样，列向量与行向量相乘得到的矩阵一定是一个秩1矩阵.
一个秩为$r$的矩阵，可以表示为$r$个秩1矩阵的线性组合.

小世界图就是六度空间理论啦，用矩阵表示一个图也是离散数学中比较基础的内容了

12 图与网络

教授画了一个图，并将图中的节点理解为电势，边理解为电流，并给出了一些物理规律的矩阵形式，由于我物理太菜了，也理解的不是很好，不过确实很有意思，给人眼前一亮的感觉.

13 复习课

一节习题课.