对称和反对称矩阵

特征值分解

• 如果 A A 是一个实对称矩阵，那么 A A 可以分解为 A=UDUT A = U D U T ，其中 U U 是正交矩阵， D D 是实对角矩阵，因此一个实对称矩阵有实特征值，其特征向量两两正交

实对称矩阵的其他性质：

可通过Jacobi方法求实对称矩阵的特征值和特征向量

叉乘

a=(a1,a2,a3)T,  [a]×=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥ a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) T ,     [ a ] × = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ]

a×b=[a]×b a × b = [ a ] × b

余因子和伴随矩阵

令 M M 是一个方阵，用 M∗ M ∗ 表示 M M 的余因子矩阵，则 M∗ij=(−1)i+jdetM^ij M i j ∗ = ( − 1 ) i + j d e t M ^ i j ，其中 M^ij M ^ i j 是把 M M 的第 i i 行和第 j j 列所得到的矩阵。余因子矩阵 M∗ M ∗ 的转置称为 M M 的伴随矩阵，记为 adj(M) a d j ( M ) 。
有

Madj(M)=adj(M)M=det(M)I M a d j ( M ) = a d j ( M ) M = d e t ( M ) I

正定对称矩阵

• 对称矩阵 A A 正定 ⟺xTAx>0 ⟺ x T A x > 0 恒成立
• 正定对称矩阵 A A 可以唯一地分解为 A=KKT A = K K T ， K K 是对角元素全为正的上三角实矩阵