1. 循环不变式
循环不变式帮助我们理解算法正确性。利用循环不变式时，需要证明以下三条性质。
初始化：循环第一次迭代前，循环不变式为真.（对应归纳法中的基本情况）
保持：如果循环在某次迭代前为真，则在下次迭代之前也为真。（对应于归纳步）
终止：循环终止时，不变式提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法的正确性。（与归纳区别，归纳法中归纳步无限使用，而此处会终止）
2. 插入排序(Insertion Sort)
插入排序是最基本的排序算法，其方法概括为：从数组的第2个元素开始向后遍历数组，对每个元素A[j]先存于key中，然后从j开始向前查找，如果之前的元素x比key大则将该元素后移一位，直到查找到第1个元素或者元素x的值<=key，则将key存于该元素x的位置。伪代码如下：
对一个数组A=｛5，2，4，6，1，3｝的插入排序过程说明如下：
时间复杂度分析：最好情况（即数组已经排序好）an+b，最差情况（即数组逆序排列）an^2+bn+c，所以插入排序的最坏运行时间为Θ(n^2)。
3. 归并排序(Merge Sort)
3.1 分治法
递归算法结构：在解决一个问题是，算法一次或者多次调用自身来解决紧密相关的若干个子问题。
分治法思想：把原问题分解为若干个相似的子问题，递归求解子问题，然后合并这些子问题的解得到原问题的解。
分治模式在每层递归中的三步骤：
1）分解：将原问题分解为若干个子问题，子问题是原问题规模较小的实例。
2）解决：对于每个子问题递归求解，如果子问题规模足够小时则直接求解。
3）合并：合并若干个子问题的解得到最终原问题的解。
3.2 归并排序
3.2.1 步骤
完全遵循了分治模式的三步骤：
1）分解：分解待排序的长为n的序列为两个2/n的子序列。
2）解决：使用归并排序递归地排序两个子序列。
3）合并：合并两个已排序的子序列生成原问题的解。
3.2.2 合并函数（MERGE）
归并排序中的关键步骤是一个子函数MERGE，负责对两个已经各自排序子序列进行按序合并。
其总体思想是：对两个子序列比较它们各自最小的元素，谁小就放到存放结果的数组（假设为A）中，当某个子序列空了，则可以在其最后一位设一个无穷大的哨兵，使得另为一个数组的第一位肯定小于该哨兵，则能顺利把未空子序列剩余的元素放到A中，完成合并。
其伪代码如下：
输入参数为待排数组A，合并的序列头p，中间某个位置的标识q，序列尾r。第1-3行得到两个分拆子序列的各自长度，并且定义左右子序列分别为L和R。4-7行将数组A中的元素拷贝到L和R中。8-9行设立两个哨兵位，并另为无穷大。10，11行设立扫描L和R的index初值，12-17为核心循环，k为A的p-r段的扫描index，每次循环都比较L和R的第一个元素的大小，小的放入A中k指的位置，并且该索引i或j自增1以保证循环不变式的保持。时间复杂度由12-17行决定，为Θ(n)。
以下例子可以很好地帮助理解：
3.2.3 排序函数（MERGE-SORT）
归并排序递归地划分序列并解决子序列的排序，直到子序列只剩一个元素时不再递归划分（不可分），这个时候会一次向上执行合并步骤，直到得到最终排序数组。
伪代码如下：
第一个判断语句表明p如果≥r则表示只有一个元素，不再递归，初次调用时，p为1，r为A.length。
一个长度为8的序列归并排序过程如下：
3.2.4 时间复杂度分析
对于一个递归问题，往往可以用递归方程或者递归式来描述运行时间。如下：
当问题规模足够小，则时间为Θ(1)，否则，在三步骤的解决中将规模为n的问题拆为a个每个规模为原来的1/b的问题时，耗时为aT(n/b)，假设分解步骤需要时间为D(n)，合并时间为C(n)则可得上式。
对于归并排序，上式中解决步骤即为将规模为n的问题分解为2个规模为原问题1/2的子问题，分解耗时为常数时间Θ(1)，合并为Θ(n)。所以耗时T(n)如下：
其中，c为常数。
我们可以用递归数方便地求得其时间复杂度量级：
关键点为，由树高和每层的分子的关系求得递归数的树高，进而得到树的层数求得复杂度为Θ(nlgn)。
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