2019 ACM/ICPC 南京站 E.Observation，区间筛

题目大意

求
$$(\sum _{d=L}^R(f_d\text{ xor }K))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}P)$$
其中$f_d$表示在空间直角坐标系下，圆心$(0,0,0)$且半径为$d$的球上的整点个数
多组数据($T\le 10$)，其中$0\le L\le R\le 10^{13},0\le K\le 10^{18},R-L+1\le 10^6$,质数P满足$P\le 3\times 10^{13}$

分析

通过打表/OEIS发现$\frac{f_d}{6}$是积性函数
且当p为质数且$p=4k+1$时，$f(p^e)=p^e$；
当p为质数且$p=4k+3$时，$f(p^e)=p^e+\frac{2(p^e-1)}{p-1}$

注意到区间长度$n=R-L+1\le 10^6$，因此通过预处理$\sqrt{R}$以内的素数，之后通过区间筛的方式求出$f_x(L\le x\le R)$，然后就可以$O(n)$求上面那个式子了

总复杂度$O(Tn\log n)$

代码

#include
#define LL long long
using namespace std;
LL L,R,k,p;
int T;
const int lim=4000000;
int prime[lim/10+5];
LL f[lim+5],id[lim+5];
bool vis[lim+5];
void init()
{
	for (int i=2;i<=lim;++i)
	{
		if (!vis[i]) prime[++prime[0]]=i;
		for (int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=lim;++j)
		{
			vis[prime[j]*i]=1;
			if (i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
void get(LL L,LL R)//区间筛[L,R]以内的f
{
	for (int i=1;i<=R-L+1;++i) id[i]=i+L-1,f[i]=1;
	for (int i=1;i<=prime[0]&&prime[i]<=R;++i)
	{
		LL last=(L/prime[i])*prime[i],mk;
		if (last<L) last+=prime[i];
		for (;last<=R;last+=prime[i])
		{
			mk=1;
			while (id[last-L+1]%prime[i]==0)
				id[last-L+1]/=prime[i],
				mk*=prime[i];
			if (prime[i]==2) mk=1;
			else if (prime[i]%4==3) mk+=(2*(mk-1)/(prime[i]-1));
			f[last-L+1]*=mk;	
		}
	}
	for (int i=1;i<=R-L+1;++i)
	{
		if (id[i]>1)
			if (id[i]%4==3)
				f[i]*=(id[i]+2);
			else
				f[i]*=id[i];
		f[i]*=6;
		f[i]^=k;
		f[i]%=p;
	}
}
main()
{
	init();
	for(scanf("%d",&T);T;--T)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&L,&R,&k,&p);
		LL ans=0;
		if (L==0) ++L,(ans+=k)%=p; 
		get(L,R);
		
		for (int i=1;i<=R-L+1;++i) ans=(ans+f[i])%p;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}