2019 ACM/ICPC 南京站 E.Observation,区间筛

题目大意


( ∑ d = L R ( f d  xor  K ) ) ( m o d P ) \Big(\sum\limits_{d=L}^{R} (f_d\text{ xor } K)\Big)\pmod{P} (d=LR(fd xor K))(modP)
其中 f d f_d fd表示在空间直角坐标系下,圆心 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)且半径为 d d d的球上的整点个数
多组数据( T ≤ 10 T\le 10 T10),其中 0 ≤ L ≤ R ≤ 1 0 13 , 0 ≤ K ≤ 1 0 18 , R − L + 1 ≤ 1 0 6 0\le L\le R\le 10^{13}, 0\le K\le 10^{18},R-L+1\le 10^6 0LR1013,0K1018,RL+1106,质数P满足 P ≤ 3 × 1 0 13 P\le 3\times 10^{13} P3×1013

分析

通过打表/OEIS发现 f d 6 \frac {f_d} 6 6fd是积性函数
且当p为质数且 p = 4 k + 1 p=4k+1 p=4k+1时, f ( p e ) = p e f(p^e)=p^e f(pe)=pe
当p为质数且 p = 4 k + 3 p=4k+3 p=4k+3时, f ( p e ) = p e + 2 ( p e − 1 ) p − 1 f(p^e)=p^e+\frac{2(p^e-1)}{p-1} f(pe)=pe+p12(pe1)

注意到区间长度 n = R − L + 1 ≤ 1 0 6 n=R-L+1\le 10^6 n=RL+1106,因此通过预处理 R \sqrt R R 以内的素数,之后通过区间筛的方式求出 f x ( L ≤ x ≤ R ) f_x(L\le x \le R) fx(LxR),然后就可以 O ( n ) O(n) O(n)求上面那个式子了

总复杂度 O ( T n log ⁡ n ) O(Tn\log n) O(Tnlogn)

代码

#include
#define LL long long
using namespace std;
LL L,R,k,p;
int T;
const int lim=4000000;
int prime[lim/10+5];
LL f[lim+5],id[lim+5];
bool vis[lim+5];
void init()
{
	for (int i=2;i<=lim;++i)
	{
		if (!vis[i]) prime[++prime[0]]=i;
		for (int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=lim;++j)
		{
			vis[prime[j]*i]=1;
			if (i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
void get(LL L,LL R)//区间筛[L,R]以内的f
{
	for (int i=1;i<=R-L+1;++i) id[i]=i+L-1,f[i]=1;
	for (int i=1;i<=prime[0]&&prime[i]<=R;++i)
	{
		LL last=(L/prime[i])*prime[i],mk;
		if (last<L) last+=prime[i];
		for (;last<=R;last+=prime[i])
		{
			mk=1;
			while (id[last-L+1]%prime[i]==0)
				id[last-L+1]/=prime[i],
				mk*=prime[i];
			if (prime[i]==2) mk=1;
			else if (prime[i]%4==3) mk+=(2*(mk-1)/(prime[i]-1));
			f[last-L+1]*=mk;	
		}
	}
	for (int i=1;i<=R-L+1;++i)
	{
		if (id[i]>1)
			if (id[i]%4==3)
				f[i]*=(id[i]+2);
			else
				f[i]*=id[i];
		f[i]*=6;
		f[i]^=k;
		f[i]%=p;
	}
}
main()
{
	init();
	for(scanf("%d",&T);T;--T)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&L,&R,&k,&p);
		LL ans=0;
		if (L==0) ++L,(ans+=k)%=p; 
		get(L,R);
		
		for (int i=1;i<=R-L+1;++i) ans=(ans+f[i])%p;
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

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