正整数分解使得乘积最大问题

问题描述：

设n是一个正整数。现在要求将n分解为若干个自然数之和，使得自然数的乘积最大。输出这个最大的乘积。

这类问题一般有两种问法：

（1）要求这些自然数互不相同

（2）要求这些自然数可以是相同的

对于第一种：

要求自然数互不相同。这类题一开始需要我们手写几个数来看看规律，从5开始写起，5=2+3，6=2+4，7=3+4，8=3+5，9=2+3+4，10=2+3+5，11=2+4+5

发现规律如下：

（1）尽量使得元素是连续的。

（2）如果有多出来的，从后往前均匀分配到各个元素。考虑到一种特殊情况，当多出来的数比前面已有元素的个数大1时（比如8的情况），先给已有元素的最大元素加1，然后再均匀分配到每个元素。

对于第二种：

对于元素可以是相同的，我们仍然通过手写几个数查看一下规律：4=2+2，5=2+3，6=3+3，7=3+2+2，8=3+3+2，9=3+3+3。

发现规律如下：

（1）元素不会超过4，因为4=2+2，又可以转化为2的问题，而5=2+3，5<2*3，所以5总能分解成2和3。

（2）尽可能多分解出3，然后分解出2，不要分出1。

考虑任意一个数，除以3之后的结果有以下3种：

（1）能被3除断，那么就分解为3+3+…+3的情况即可。例如9=3+3+3。

（2）被3除余1，分解为3+3+…+3+2+2或者3+3+…+3+4的情况，例如10=3+3+2+2

（3）被3除余2，分解为3+3+…+3+2的情况，例如11=3+3+3+2。