中国剩余定理（详解）

中国剩余定理

中国剩余定理可以描述为：

若某数x分别被d1、、…、dn除得的余数为r1、r2、…、rn，则可表示为下式：
x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD
其中R1是d2、d3、…、dn的公倍数，而且被d1除，余数为1；（称为R1相对于d1的数论倒数）
R1 、

R2 、

…  、

Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍数，而且被dn除，余数为1；
D是d1、d2、…、的最小公倍数；
R是任意整数（代表倍数），可根据实际需要决定；
且d1、、…、必须互质，以保证每个Ri(i=1,2，…，n)都能求得.

（注：因为R1对d1求余为1，所以R1r1对d1求余为r1，这就是为什么是R1对d1求余为1的目的，其次，R2r2,R3r3…Rnrn对d1求余都是0）

 

如要讨论中国利余定理，同余（congruence）的概念可算是必须。

给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a-b是n的倍数。用符号a≡b(mod n)来代表。一般来说，a≡b(mod n)等同于a＝b+kn，而a，b，k，n都是整数，所以，13≡1(mod 6)、19≡1(mod 6)。 

但同余并不只是一个代号，而是有很方便和有趣的特性。（一）整数加法跟普通加法相似，a+c≡(b+c)(mod n)；（二）整数乘法跟普通乘法相似，ac≡bc(mod n)，而a，b，c，n都是整数。但如果ac≡bc(mod n)，则不一定a≡b(mod n)。 

以「鬼谷算」为例，假设x是那个未知数，而除3，5，7后的余数分别为r1，r2，r3。因此有 

x≡r1(mod 3) 
 
x≡r2(mod 5) 
 
x≡r3(mod 7) 
 
而另一方面

70＝(5x7)x2≡1(mod 3)、70≡0(mod 5)及70≡0(mod 7) 
 
21＝(3x7)x1≡1(mod 5)、21≡0(mod 3)及21≡0(mod 7) 
 
15＝(3x5)x1≡1(mod 7)、15≡0(mod 3)及15≡0(mod 5) 
 
由同余的特性，我们有 

70r1≡r1(mod 3)、70r1≡0(mod 5)及70r1≡0(mod 7) 
 
21r2≡0(mod 3)、 21r2≡r2(mod 5)及21r2≡0(mod 7) 
 
15r3≡0(mod 3)、 15r3≡0(mod 5)及15r3≡r3(mod 7) 
 

因此亦有 

70r1+21r2+15r3≡r1(mod 3) 
 
70r1+21r2+15r3≡r2(mod 5) 
 
70r1+21r2+15r3≡r3(mod 7) 

所以

x≡70r1+21r2+15r3+3m

x≡70r1+21r2+15r3+5n
x≡70r1+21r2+15r3+7p

 最后得到这个精彩的结果，x≡(70r1+21r2+15r3)(mod 105)，而105正便是3，5，7的最小公偣数。所以其实在很多数字可以满足这几个余数条件的，要找到最小值才要减105。

 

对于中国剩余定理有个简单理解并记忆的方法：

中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数，不管是不是最小的，如果不是最小的就不断减公倍数，中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加，例如：
假设满足条件的数为：M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先让它满足条件1：除以3余1，我们看M的第一部分和第三部分能被3整除，只要第二部分除以3余1就行了，选择b=2就满足
再满足条件2：除以5余2，考虑第三部分就行了，选择c=2就满足
最后满足条件3：除以7余3，考虑第一部分就行了，选择a=3
这样M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157，比公倍数大，减去公倍数，157-105=52是满足条件最小数

 

以我个人理解写成下面这个形式（以3个数为例）

X被a,b,c处分别余r1,r2,r3。表示为：

X%a = r1                     x%b = r2                     x%c = r3

bc*k1 % a = 1     ac*k3 % b = 1     ab*k3 % c = 1

所以

x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3

 

 

 

下面以一个例子来把中国剩余定理用于实践

POJ1006：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1006&lang=zh-CN&change=true

解析报告：点这里