编译原理之ll(1)文法判断和左递归问题

LL(1)文法名称中第一个L表示自顶向下分析是从左向右扫描输入串,
第二个L表示分析过程中将用最左推导,
括号中的1表示每进行一步推导，只需要向前查看一个输入符号便能确定当前所应选用的产生式。

文法G是LL(1)的，当且仅当对于G的每个非终结符Α的任何两个不同产生式
Α→α,Α→β均满足下面条件(其中α和β不能同时推出ε):
1、FIRST(α)∩FIRST(β)=Φ
2、假若β=>*ε，那么FIRST(α)∩FOLLOW(A)＝Φ

SELECT集的定义
对于上下文无关文法产生式Α→α, A∈V_N ,α∈V^∗,
1、若α!⇒^∗ε,则SELECT(Α→α)=FIRST(α)
2、若α⇒^∗ε,则SELECT(Α→α)=(FIRST(α)-{ε})∪FOLLOW(Α)
上下文无关文法是LL(1)文法的充要条件可以描述为:
对每个非终结符A的两个不同产生式Α→α,Α→β
满足(SELECT(Α→α)∩SELECT(Α→β)=Φ

例:

• S→aA
• S→d
• A→bAS
• A→ε

Select(S→aA)={a};
Select(S→d)={d};
Select(A→bAS)={b};
Select( A→ε}={a, d, #};
Select(S→aA)∩ Select(S→d)=Φ
Select(A→bAS)∩ Select(A→ε)=Φ
故文法G是LL(1)文法。

判断步骤：

1. 求出能推出ε的非终结符
2. 计算FIRST集
3. 计算FOLLOW集
4. 计算SELECT集
5. 根据LL(1)文法的等价条件进行判断

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判断ll(1)文法的算法：
1 求出能推出ε的非终结符：首先建立一个以文法的非终结符个数为上界的一维数组，记录对应非终结符能否推出ε.
计算能推出ε的非终结符步骤如下：

1. 将数组X[ ]中对应每一非终结符的标记置初值为“未定”。
2. 扫描文法中的产生式。
   • 删除所有右部含有终结符的产生式，若这使得以某一非终结符为左部的所有产生式都被删除，则将数组中对应该非终结符的标记值改为“否”，说明该非终结符不能推出ε。
   • 若某一非终结符的某一产生式右部为ε ，则将数组中对应该非终结符的标志置为“是”，并从文法中删除该非终结符的所有产生式。
3. 扫描产生式右部的每一符号
   • 若所扫描到的非终结符号在数组中对应的标志是“是”则删去该非终结符，若这使产生式右部为空，则对产生式左部的非终结符在数组中对应的标志改为“是”，并删除该非终结符为左部的所有产生式。
   • 若所扫描到的非终结符号在数组中对应的标志是“否”,则删去该产生式，若这使产生式左部非终结符的有关产生式都被删去，则把在数组中该非终结符对应的标志改成“否”。
   • 重复3，直到扫描完一遍文法的产生式，数组中非终结符对应的特征再没有改变为止。

2 计算FIRST集
3 计算FOLLOW集
4 计算SELECT集
5 分析是否为ll(1)文法

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当文法中含有左递归或左公共因子时，该文法肯定不是LL(1)文法。

提取左公共因子:
当文法中出现形如Ａ→aβ|aγ的产生式，此时若对A进行语法分析，将会无法区分应该选择哪个分支，也就是出现了局部二义性问题。
解决方法：将产生式Ａ→aβ, Ａ→aγ变换为Ａ→aB,B→β|γ

对文法提取左公共因子后，有可能产生无用产生式，所以需对文法进行重新化简。
也可能存在一些文法不能在有限步内提取完公共因子。
文法提取了左公共因子后，只解决了相同左部产生式右部的FIRST集不相交的问题，只有当改写后的文法不含空产生式，且无左递归时，改写后的文法才是LL(1)文法，否则还要用LL(1)文法的判别方法进行判断。

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消除左递归:

1. 直接左递归: A→Aβ，其中A ∈V_N, β∈V*。
2. 间接左递归: A→Bβ, B→ Aα,其中A,B ∈ V_N, α,β∈V*
3. 一般左递归: A⇒*Aα,其中A ∈ V_N, α∈V*

消除直接左递归: 把直接左递归改为右递归
形如：P→Pα|β 其中α非ε, α,β不以P开头
改为：P→βQ，Q→αQ|ε

消除间接左递归的方法：
首先通过非终结符置换，变为直接左递归，然后再消除。

消除文法中一切左递归的方法：
(1) 以某种顺序将文法非终结符排列A1 ,A2 …An
(2)

for i:=1 to n do    
begin 
    for j:=1 to i-1 do   
    begin
        用Ai→α1r|α2r…|αkr 对形如Ai→Ajr的规则进行替代,
        其中Aj→α1|α2…|αk是关于Aj的全部产生式;
    end
    消除Ai规则的直接左递归; 
end;

(3) 化简由(2)得到的文法

消除一切左递归后要求文法满足:

1. 无回路(A⇒⁺A)
2. 无空产生式

对非终结符号的排序不同，最后得到的文法在形式上可能不同，但它们都是等价文法。消去左递归过程中，要注意保证文法的识别符号不变。