01背包的理解，二维数组化一维数组的理解（附hdu2602 Bone Collector）
01背包问题：
有n个物品和一个容量为v的背包，用val[i]表示第i个物品的价值，用vol[i]表示第i个物品的体积，那么，如何使背包里装的物品的总价值最大呢？
贪心是不行的，举个反例：
n=3， v=100
| val[i] | vol[i] |
|---|---|
| 80 | 60 |
| 50 | 50 |
| 50 | 50 |
按照val[i]/vol[i]比值从大到小贪心，那么会得到错误答案80，但是正确答案是100
动态规划的思想：
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i=0; ifor(int j=0; j<=v; j++){
if(j>=vol[i])
dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i]);
else
dp[i+1][j] = dp[i][j];
}
} 如何理解这段代码呢？我们设dp[i][j]为前i件物品放在容量为j的背包里所能得到的最大价值，那么思考一下，每个物品都只有两种可能，放或不放，这就是为什么叫做01背包的原因。那么，我们将第i件物品放在容量为j的背包中，使dp[i][j]最大，那么对于第i件物品，也只有两种操作。于是，我们可以很容易想到，我们不放第i件物品时，是不是需要先知道dp[i-1][j]的值呢？这就形成了dp，形成了一种递推关系。另一种可能，假设我们放第i件物品，那么，首先需要考虑当前容量j是否放得下物品i，假设放得下，将j减去vol[i]，即在剩余的体积放前i件所得到的最大的价值为dp[i][j-vol[i]]，所以总价值为dp[i][j-vol[i]] +val[i]。
那么，状态转移方程为：
dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i])
或者：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vol[i]]+val[i])
这两种写法要注意数组是从0开始还是从1开始明显的，时间复杂度是O(n*v)
但是我们还能将空间复杂度降低，从二维降为一维。
看下面这段代码：
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i=0; ifor(int j=v; j>=vol[i]; j--){
dp[j] = max(dp[j], dp[j-vol[i]]+val[i])
}
} 如何理解二维降一维呢？对于外层循环中的每一个i值，其实都是不需要记录的，在第i次循环时，所有的dp[0…v]都还未更新时，dp[j]还记录着前i-1个物品在容量为j时的最大价值，这样就相当于还记录着dp[i-1][j]和dp[i-1][j-vol[i]]+val[i]。
为什么要从v开始递减遍历？我举个例子，假设一个物品GG价值1000，体积为2，那么假设我们按【0…..v】这个顺序遍历，那么在j=2时，dp[2] = max(dp[2], dp[0]+1000)，那么dp[2] = 1000，当j=4时，dp[4]=max(dp[4], dp[2]+1000)， dp[4] = 2000，这时我们再思考一下，GG将被放进背包两次！！，如果我们逆序遍历，就可以避免这种结果。
此外，这里可以进行一个常数优化，将j>=vol[i]写进for循环中。
大家可以看一下hdu2602这一题，是一题单纯的01背包。
题目：
Bone Collector
Problem Description
Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?
Input
The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.
Output
One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 231).
Sample Input
1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
Sample Output
14
用二维数组解：
#include cin>>val[i];
for(int i=0; icin>>vol[i];
for(int i=0; ifor(int j=0; j<=v; j++){
if(j>=vol[i])
dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i]);
else
dp[i+1][j] = dp[i][j];
}
}
cout<return 0;
} 用一维数组解：
#include cin>>val[i];
for(int i=0; icin>>vol[i];
for(int i=0; ifor(int j=v; j>=vol[i]; j--){
dp[j] = max(dp[j], dp[j-vol[i]]+val[i]);
}
}
cout<return 0;
}