c++动态规划基础——最长上升子序列

这次博主带来的是动态规划的一道基础题——最长上升子序列
希望可以对比较迷茫的小伙伴带来帮助！
以下为题目

最长上升子序列：

描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出
最长上升子序列的长度。
样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

好的，不多说，直接切入正题，首先确定思路。

1. 想法
   对于这样的一道题，用贪心是无法解决的，因为结尾最大的子序列不一定就是最长的子序列。如：1 9 3 4 。贪心只可以看到1 9，结果不能找到1 3 4。对于这道题，我们可以用动态规划（DP）。

2. 思路
   动态规划的关键在于定义数组的含义和“状态转移方程式”。这里我们可以定义一个数组 a[i] 来存数列，再定义 F[i] 用来表示 末尾 为 a[i] 的最长上升子序列。这句话非常重要！

3. 状态转移方程式
   当 a[i]>a[j] 时，F[i]=max(F[j]+1,F[i]); 这里的max为取较大值，也就是F[i]为它本身和 F[j]+1 中较大的一个。有一个问题：F[i] 为什么要和自己比较呢，因为在循环中，F[i] 可能赋过很多次值。

   当 a[i]<=a[j]时， F[i]就不能变，因为 a[i] 不能接在 a[j] 后面。

   最后再在末尾为 1,2,3,…,n 的最长上升子序列中找到最长的那一个既是正确答案！

4. 实现
   这里就直接给代码了：

#include
#include    //这个头文件可以使用max(,),*max_element(,)
using namespace std;    //它们的含义分别是：求两者最大；求数组最大
int n,a[1002],f[1002];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);   //输入
        f[i]=1;              //以第i个数为末尾的上升序列最初长度为1
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)         //枚举i的位置
        for(int j=1;j//在i的前面找j的位置
            if(a[i]>a[j]) //如果满足条件，则第i个数可以放在j后边
                f[i]=max(f[j]+1,f[i]);//取较大的一种再放
    printf("%d",*max_element(f+1,f+n+1));//从 F[1]到F[n] 找最大值
    return 0;
}

那么这一道题就做完了！
但是这道题也有许多“变式”，例如：最长下降子序列，最长公共上升子序列……
这道题作为一道基础也隐藏在许多题目中，如：拦截导弹，渡轮问题等。
所以一定要把这道题了解清楚，才可以在更多的领域取得更好的成绩啊！