POJ1006 Biorhythms（两种解法）

这题的目的是找到在三个循环周期内找到重合的天。

首先给定三个生理周期的出现的某一天，这样很自然能得到高峰是一个单独周期的第几个天。

p = p % 23;
e = e % 28;
i = i % 33;

然后给你一个天数，求下一次高峰重叠的天数与这一天的距离。

我最先想到的是一个式子S = p + 23a = e + 28b = i + 33c。要解这个式子的话是有方法的！

虽然我不会（严肃脸），马上会讲。

先说下我暴力AC的代码，就是。。简单打表。

第一次数组开小了没过（题目说结果小于21252，我就开的21253），然后开大了点就过了，为啥呢，，，，

比如对于数据1 1 1 2，那么就会到达21254，二21254 - 2 = 21252，答案也在范围内。

代码：

#include 
#include 
#define M 40000

bool ans[3][M];

int main()
{
    int p, e, i, d;
    int n(0);//计录循环数的

    while(scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) != EOF && p >= 0)
    {
        memset(ans, 0, sizeof(ans));

        p = p % 23;//得到在一个周期内高峰第几天
        e = e % 28;
        i = i % 33;

        for(int x = p; x < M; x += 23)//把各自的高峰天打张表
            ans[0][x]++;

        for(int x = e; x < M; x += 28)
            ans[1][x]++;

        for(int x = i; x < M; x += 33)
            ans[2][x]++;


        for(int x = d + 1; x < M; x++)
            if(ans[0][x] == 1 && ans[1][x] == 1 && ans[2][x] == 1 )
        {
            printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", ++n, x - d);
            break;
        }
    }

    return 0;
}

2然后看看人家对方程S = p + 23a = e + 28b = i + 33c的认识：

问题分析

      首先我们要知道，任意两个峰值之间一定相距整数倍的周期。假设一年的第N天达到峰值，则下次达到峰值的时间为N+Tk(T是周期，k是任意正整数)。所以，三个峰值同时出现的那一天(S)应满足

      S = N1 + T1*k1 = N2 + T2*k2 = N3 + T3*k3

N1,N2,N3分别为为体力，情感，智力出现峰值的日期， T1，T2,T3分别为体力，情感，智力周期。 我们需要求出k1,k2,k3三个非负整数使上面的等式成立。

     想直接求出k1,k2,k3貌似很难，但是我们的目的是求出S， 可以考虑从结果逆推。根据上面的等式，S满足三个要求：除以T1余数为N1，除以T2余数为N2，除以T3余数为N3。这样我们就把问题转化为求一个最小数，该数除以T1余N1，除以T2余N2,除以T3余N3。这就是著名的中国剩余定理，我们的老祖宗在几千年前已经对这个问题想出了一个精妙的解法。依据此解法的算法，时间复杂度可达到O(1)。下面就介绍一下中国剩余定理。

中国剩余定理介绍

     在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：

1. 找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
2. 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3. 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

     就这么简单。我们在感叹神奇的同时不禁想知道古人是如何想到这个方法的，有什么基本的数学依据吗？

中国剩余定理分析

     我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

     首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

     有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

     这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

     以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1. 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
2. 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
3. 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

    因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1. n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
2. n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
3. n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

    所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

    这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。

    最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

总结

  经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学定理的灵活运用：

1. 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
2. 如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。 

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老祖宗就比我聪明这么多了。

那么所以这道题的高大上解法就是：

问题：

S%23 = p，S%28 = e， S%33 = i；

算法

S = n1 + n2 + n3；

n1%924 = 0, n1%23 = p;

n2%759 = 0, n2%28 = e;

n3%644 = 0, n3%33 = i;

S = S % 21252；

可是暴力求n1, n2, n3太慢了。我想的就是把p e i的因子都分出来，然后暴力循环，，，

有好方法了再来补上代码吧。

2018.1.20更新：

在上文中，有个若a%b=c，则(a*k)%b=kc;

以找n1为例，a是924的倍数，b是33，kc是p，n1就是a*k。在28和33的公倍数中（也就是924的倍数中）找到一个数，满足它除33的余数是p的因子，然后乘相应的倍数就可。也就是可以通过列举a来求n1。

代码：

for(int k = 1; ; k++){
            int m = (k * 924) % 23;
            if(p % m == 0){
                n1 = k * 924 * (p / m);
                break;
            }
        }

完整AC代码：

#include 
#include 

int main()
{
    int p, e, i, d;
    int n(0);//计录循环数的

    while(scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) != EOF && p >= 0)
    {
        int n1, n2, n3;

        p = p % 23 + 1;//得到在一个周期内高峰第几天
        e = e % 28 + 1;
        i = i % 33 + 1;

        for(int k = 1; ; k++){
            int m = (k * 924) % 23;
            if(p % m == 0){
                n1 = k * 924 * (p / m);
                break;
            }
        }
        for(int k = 1; ; k++){
            int m = (k * 759) % 28;
            if(e % m == 0){
                n2 = k * 759 * (e / m);
                break;
            }
        }
        for(int k = 1; ; k++){
            int m = (k * 644) % 33;
            if(i % m == 0){
                n3 = k * 644 * (i / m);
                break;
            }
        }

        //int sum = n1 + n2 + n3;
        //printf("%d %d %d XX %d %d %d %d\n", n1%23, n2%28, n3%33, sum%23, sum%28, sum%33, sum);

        int ans = (n1 + n2 + n3 - 1) % 21252;

        while(ans - d <= 0)
            ans += 21252;

        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", ++n, ans - d);

    }

    return 0;
}

时间比较：

第一个算法235MS

第二个算法0MS，还省空间。