【算法竞赛进阶指南】- 货仓选址 - CH0501

题目描述 

在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1~AN。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

第一行输入整数N。

第二行N个整数A1~AN。

输出格式

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

1≤N≤100000   1≤N≤100000

输入样例：

4
6 2 9 1

输出样例：

12

难度：简单

时/空限制：1s / 64MB

来源：《算法竞赛进阶指南》

 题解：

把A数组进行排序，设货仓建在x坐标处，x左侧的商家有p家，右侧的商店有q家。若p < q，则每把货仓的选址向右移动一单位距离，距离之和就会变小q - p。同理，若p > q，则货仓的选址向左移动也会使距离之和变小。当p = q时为最优解，因此货仓应该建在中位数处。（来源：《算法竞赛进阶指南》）

分析：

在有序序列中，中位数具有一些很优美的性质。我们可以利用贪心法很容易猜到中位数为最优解。注意是商家的中位数，不是距离的中位数，如果你理解错了，那么说明你题解没有理解。

许多人解决本题时，是先找到中位数再遍历求距离，根据题解，A数组排序后，当N为奇数时，货仓建在A[(N + 1) / 2]最优；当N为偶数时，货仓建在A[N / 2]~A[N / 2 + 1]之间任何位置都是最优解，因为在这之间移动，左右两边商家数量相等，总距离的增加和减少始终相等。那么我们可以选最优位置为A[N / 2 + 1]，容易看出该位置与奇数时最优位置A[(N + 1) / 2]是一样的。

但是更方便的做法是遍历一半，每次加上倒数第i个位置减去第i个位置，因为在最优位置时，最优位置到第i个位置的距离加上最优位置到倒数第i个位置距离始终不变，等于两者位置之差，当N为奇数时，倒数第i个位置和第i个位置是同一个位置，距离之差为0，下方的代码便是使用这种方法。

 代码：

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int a[N];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++){
        cin >> a[i];
    }
    sort(a, a + n);
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < (n >> 1); i ++){
        ans += a[n - i - 1] - a[i];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}