3X3拼图的可解性

几个定义：

1、逆序数

     例如： 1 2 3 5 4，逆序数有1对，54

                5 4 3 2 1，逆序数有10对，54,53,52,51,43,42,41,32,31,21

2、奇排列偶排列

     一个排列，逆序数总数为奇数则为奇排列，否则为偶排列。

     例如上面的两个排列：12354位奇排列，54321为偶排列。

3、关于奇排列和偶排列的定理

      偶排列任意交换两个数形成奇排列，奇排列任意交换两个数形成偶排列。

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拼图的可解性（一个随机拼图一半无解）：

     假设3*3的拼图为0-8的数字，0表示可以交换的空白块，123456780为最终状态。显然123456780为偶排列，0所在的位置为偶位置。

     那么，有两种方式可以判断拼图是否可解：

     （1） 判断整个序列是奇排列还是偶排列，再判断0的位置是奇位置还是偶位置，如果前两者的奇偶性相同则有解。

       说明：初始状态123456870为奇排列，0所在的位置为偶位置。每次移动必然导致0的位置奇偶性和整个排列的奇偶性变化一次，因此无论如何都不可能移动到123456780整个最终排列和0的位置都为偶的状态。

     （2） 序列里面排除空白块0，判断序列是奇排列还是偶排列。如果是偶排列，则可以完成。

      说明：因为排除0，所以0每次和附近的交换都不影响奇偶性，所以最初为奇排列，怎么都移动不成偶排列。

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伪代码（c）：

/* 第一种实现 */

map[9];

cnt = 0;

/* 计算逆序数总数 */

for(i = 0; i < 8; i++)

     for(j = i + 1; j < 9; j++)

     {

          if(map[i] > map[j])

               cnt++;

     }

/* 判断空白块0的位置 */

for(i = 0; i < 9; i++)

{

     if(map[i] == 0)

          break;

}

if(cnt % 2 != i % 2)     //奇偶性不同则无解

{

     //无解

}

/* 第二种实现 */

map[9];

cnt = 0;

/* 计算逆序数总数 */

for(i = 0; i < 8; i++)

     for(j = i + 1; j < 9; j++)

     {

          if(map[i] > map[j] && map[j] != 0)     //排除空白块0

               cnt++;

     }

if(cnt % 2)     //奇排列则无解

{

     //无解

}

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怎么把无解的拼图变为有解？

     任意交换两个 非空白块的位置就能让拼图从无解变为有解。

4X4拼图也一样吗？

     不一样，从第一种方法的分析可知。空白块的移动会导致奇偶位置变化一次，因为3X3的奇偶位置如下

     0  1  0

     1  0  1          

     0  1  0

     而4X4的不一样了，如下

     0  1  0  1

     0  1  0  1

     0  1  0  1

     0  1  0  1

     这样，上下移动，空白块位置的奇偶性不变，会导致需要重新分析可解性。

参考： http://www.guokr.com/question/579400/