向量组的秩

定义 3.5.1 极大无关组

设在线性空间$V$中有一族向量$S$（其中可能只有有限个向量，也可能有无限个向量），如果在$S$中存在一组向量$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\}$适合下列条件：

1. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$线性无关；
2. 这族向量中的任意一个向量都可以用${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$线性表示，

那么称$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\}$是向量族$S$的极大线性无关组，简称极大无关组。

上述定义(2)表示若将$S$中任一向量$\alpha$加入$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r\}$，则向量组$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\alpha \}$一定线性相关。

命题 3.5.1 极大无关组的存在性

设$S$是有限个向量组成的向量族且至少包含一个非零向量，则$S$r的极大无关组一定存在。

引理 3.5.1 向量组间个数关系

设$A,B$是$V$中两组向量，$A$含有$r$个向量，$B$含有$s$个向量。如果$A$中向量线性无关且$A$中每个向量均可用$B$中向量线性表示，则$r\le s$。

引理 3.5.1 的逆否命题用一句话来概括：“多”若可以用“少”来线性表示，则“多”线性相关。

引理 3.5.2 无关组间个数关系

设$A,B$都是$V$中线性无关的向量组，又$A$中任一向量均可用$B$中向量线性表示，$B$中任一向量也可用$A$中向量线性表示，则这两组向量所含的向量个数相等。

定理 3.5.1 向量族的极大无关组向量个数相等

设$A,B$都是向量族$S$的极大线性无关组，则$A,B$所含的向量个数相等。

定义 3.5.2 向量族的秩

向量族$S$的极大无关组所含的向量个数称为$S$的秩，记做$rank(S)$或$r(S)$。

定义 3.5.3 向量组等价

若向量组$A$和$B$可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

定理 3.5.2 等价的向量组有相同的秩

定义 3.5.4 基

设$V$是数域$K$上的线性空间，若在$V$中存在线性无关的向量$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，使得$V$中任一向量均可表示为这组向量的线性组合，则称$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$是$V$的一组基，线性空间$V$称为$n$维线性空间（具有维数$n$）。如果不存在有限个向量组成 $V$的一组基，则称$V$是无限维向量空间。

注：对任一无限维线性空间，也有基的概念。无限维线性空间的存在性证明超出了高等代数的范围。

推论 3.5.1 n维线性空间$V$中任一超过$n$个向量的向量组必线性相关

定理 3.5.3 基的形式

设$V$是$n$维线性空间，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$是$V$中的$n$个向量。若它们适合下列条件之一，则$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$是$V$的一组基：

1. $e_1,e_2,\cdots ,e_n$线性无关；
2. $V$中任一向量均可由$e_1,e_2,\cdots ,e_n$线性表示。

定理 3.5.4 基的组成

设$V$是$n$维线性空间，$v_1,v_2,\cdots ,v_m$是$V$中的$m(m<n)$个线性无关的向量，又假定$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$是$V$的一组基，则必可在$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$中选出$n-m$个向量，使之的$v_1,v_2,\cdots ,v_m$一起组成$V$的一组基。