梯度提升树(GBDT)原理小结

　在集成学习之Adaboost算法原理小结中，我们对Boosting家族的Adaboost算法做了总结，本文就对Boosting家族中另一个重要的算法梯度提升树(Gradient Boosting Decison Tree, 以下简称GBDT)做一个总结。GBDT有很多简称，有GBT（Gradient Boosting Tree）, GTB（Gradient Tree Boosting ）， GBRT（Gradient Boosting Regression Tree）, MART(Multiple Additive Regression Tree)，其实都是指的同一种算法，本文统一简称GBDT。GBDT在BAT大厂中也有广泛的应用，假如要选择3个最重要的机器学习算法的话，个人认为GBDT应该占一席之地。

1. GBDT概述

　　　　GBDT也是集成学习Boosting家族的成员，但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost，我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重，这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代，使用了前向分布算法，但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型，同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

　　　　在GBDT的迭代中，假设我们前一轮迭代得到的强学习器是 ft−1(x), 损失函数是 L(y,ft−1(x)), 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器 ht(x)，让本轮的损失损失 L(y,ft(x)=L(y,ft−1(x)+ht(x))最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。

　　　　GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释，假如有个人30岁，我们首先用20岁去拟合，发现损失有10岁，这时我们用6岁去拟合剩下的损失，发现差距还有4岁，第三轮我们用3岁拟合剩下的差距，差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完，可以继续迭代下面，每一轮迭代，拟合的岁数误差都会减小。

　　　　从上面的例子看这个思想还是蛮简单的，但是有个问题是这个损失的拟合不好度量，损失函数各种各样，怎么找到一种通用的拟合方法呢？

2. GBDT的负梯度拟合

　　　　在上一节中，我们介绍了GBDT的基本思路，但是没有解决损失函数拟合方法的问题。针对这个问题，大牛Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第t轮的第i个样本的损失函数的负梯度表示为

rti=−[∂L(y,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1(x)

　　　　利用 (xi,rti)(i=1,2,..m),我们可以拟合一颗CART回归树，得到了第t颗回归树，其对应的叶节点区域 Rtj,j=1,2,...,J。其中J为叶子节点的个数。

　　　　针对每一个叶子节点里的样本，我们求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值 ctj如下：

ctj=argmin⏟c∑xi∈RtjL(yi,ft−1(xi)+c)

　　　　这样我们就得到了本轮的决策树拟合函数如下：

ht(x)=∑j=1JctjI(x∈Rtj)

　　　　从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下：

ft(x)=ft−1(x)+∑j=1JctjI(x∈Rtj)

　　　　通过损失函数的负梯度来拟合，我们找到了一种通用的拟合损失误差的办法，这样无轮是分类问题还是回归问题，我们通过其损失函数的负梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同导致的负梯度不同而已。

 3. GBDT回归算法

　　　　好了，有了上面的思路，下面我们总结下GBDT的回归算法。为什么没有加上分类算法一起？那是因为分类算法的输出是不连续的类别值，需要一些处理才能使用负梯度，我们在下一节讲。

　　　　输入是训练集样本 T={(x,y1),(x2,y2),...(xm,ym)}， 最大迭代次数T, 损失函数L。

　　　　输出是强学习器f(x)

　　　　1) 初始化弱学习器

f0(x)=argmin⏟c∑i=1mL(yi,c)

　　　　2) 对迭代轮数t=1,2,...T有：

　　　　　　a)对样本i=1,2，...m，计算负梯度

rti=−[∂L(y,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1(x)

　　　　　　b)利用 (xi,rti)(i=1,2,..m), 拟合一颗CART回归树,得到第t颗回归树，其对应的叶子节点区域为 Rtj,j=1,2,...,J。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

　　　　　　c) 对叶子区域j =1,2,..J,计算最佳拟合值

ctj=argmin⏟c∑xi∈RtjL(yi,ft−1(xi)+c)

　　　　　　d) 更新强学习器

ft(x)=ft−1(x)+∑j=1JctjI(x∈Rtj)

　　　　3) 得到强学习器f(x)的表达式

f(x)=fT(x)=∑t=1T∑j=1JctjI(x∈Rtj)

4. GBDT分类算法

　　　　这里我们再看看GBDT分类算法，GBDT的分类算法从思想上和GBDT的回归算法没有区别，但是由于样本输出不是连续的值，而是离散的类别，导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。

　　　　为了解决这个问题，主要有两个方法，一个是用指数损失函数，此时GBDT退化为Adaboost算法。另一种方法是用类似于逻辑回归的对数似然损失函数的方法。也就是说，我们用的是类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。本文仅讨论用对数似然损失函数的GBDT分类。而对于对数似然损失函数，我们又有二元分类和多元分类的区别。

4.1 二元GBDT分类算法

　　　　对于二元GBDT，如果用类似于逻辑回归的对数似然损失函数，则损失函数为：

L(y,f(x))=log(1+exp(−yf(x)))

　　　　其中 y∈{−1,+1}。则此时的负梯度误差为

rti=−[∂L(y,f(xi)))∂f(xi)]f(x)=ft−1(x)=yi/(1+exp(yf(xi)))

　　　　对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为

ctj=argmin⏟c∑xi∈Rtjlog(1+exp(yi(ft−1(xi)+c)))

　　　　由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替

ctj=∑xi∈Rtjrti/∑xi∈Rtj|rti|(2−|rti|)

　　　　除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

4.2 多元GBDT分类算法

　　　　多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为：

L(y,f(x))=−∑k=1Kyklogpk(x)

　　　　其中如果样本输出类别为k，则 yk=1。第k类的概率 pk(x)的表达式为：

pk(x)=exp(fk(x))/∑l=1Kexp(fl(x))

　　　　集合上两式，我们可以计算出第 t轮的第 i个样本对应类别 l的负梯度误差为

rtil=−[∂L(y,f(xi)))∂f(xi)]fk(x)=fl,t−1(x)=yil−pl,t−1(xi)

　　　　观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本 i对应类别 l的真实概率和 t−1轮预测概率的差值。

　　　　对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳残差拟合值为

ctjl=argmin⏟cjl∑i=0m∑k=1KL(yk,ft−1,l(x)+∑j=0JcjlI(xi∈Rtj)

　　　　由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替

ctjl=K−1K∑xi∈Rtjlrtil∑xi∈Rtil|rtil|(1−|rtil|)

　　　　除了负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

5. GBDT常用损失函数

　　　　这里我们再对常用的GBDT损失函数做一个总结。

　　　　对于分类算法，其损失函数一般有对数损失函数和指数损失函数两种:

　　　　a) 如果是指数损失函数，则损失函数表达式为

L(y,f(x))=exp(−yf(x))

　　　　其负梯度计算和叶子节点的最佳残差拟合参见Adaboost原理篇。

　　　　b) 如果是对数损失函数，分为二元分类和多元分类两种，参见4.1节和4.2节。

　　　　

　　　　对于回归算法，常用损失函数有如下4种:

　　　　a)均方差，这个是最常见的回归损失函数了

L(y,f(x))=(y−f(x))2

　　　　b)绝对损失，这个损失函数也很常见

L(y,f(x))=|y−f(x)|

　　　　　　对应负梯度误差为：

sign(yi−f(xi))

　　　　c)Huber损失，它是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：

L(y,f(x))={12(y−f(x))2|y−f(x)|≤δδ(|y−f(x)|−δ2)|y−f(x)|>δ

　　　　对应的负梯度误差为：