Logistic模型、最大熵模型与softmax模型

0 前言

很久以前推了一遍公式，但是在后面看到RNN预测语言模型使用softmax的时候仍然是一脸懵，所以现在重头整理了一下，发现有不一样的理解。

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1. 概况

这个模型主要是应用于多分类的问题，传说二分类的利器——logistics模型其实是最大熵模型的一种特殊情况。在这里为了直观，首先给出logistics模型和最大熵模型的使用方法。

1.1 数据集的形式

数据集$T=\{({\mathbf{x}}_1,y_1),...,({\mathbf{x}}_{\mathbf{n}},y_N)\}$，${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$是一个$m$维的向量，代表样本空间中的第$i$个值。

1.2 logistics模型

1.2.1 二分类的logistics模型

首先，logistics模型在分类任务中，主要应用于二分类，假设离散型变量$Y$分类编号为{1, 0}，则这个模型长这个B样：
$$\begin{array}{r}P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})=\frac{\exp (\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{1+\exp (\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\\ P(y_i=-1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})=\frac{1}{1+\exp (\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\end{array}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

1.2.2 多分类的logistics模型

假设离散型变量$Y$分类编号为{1, 2,… ,K}，设$Y_i=k$代表第$i$个样本的分类结果为$k$，那么：
$$\begin{array}{rl}P(Y_i=k|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})=& \frac{\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})},k=1,2,3...,K-1\\ P(Y_i=K|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})=& \frac{1}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\end{array}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
上式中：

• $Y_i$代表第$i$个样本的标签值；
• ${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$代表第$i$个样本的特征值，是一个$m$维的向量；
• $k$代表第$k$个类别；
• ${\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}$代表第$k$个类别对应的参数，是一个$m$维的向量；
  表示第$i$个样本属于第$k$类的概率。

1.3 softmax模型

$$\begin{array}{r}P(y_i=k|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})=\frac{\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{{\sum }_{k=1}^K\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})},k=1,2,3...,K;\end{array}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
上式中：

• $Y_i$代表第$i$个样本的标签值；
• ${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$代表第$i$个样本的特征值，是一个$m$维的向量；
• $k$代表第$k$个类别；
• ${\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}$代表第$k$个类别对应的参数，是一个$m$维的向量；

表示第$i$个样本属于第$k$类的概率。

1.4 最大熵模型

最大熵模型主要应用于二分类或者多分类首先这个模型长这个B样：
$$\begin{array}{r}P(y=k|\mathbf{x})=\frac{\exp (w_i\cdot f_i(\mathbf{x},y))}{{\sum }_y\exp ({\sum }_{i=1}^n{w}_i\cdot f_i(\mathbf{x},y))},i=1,2,3...,n\end{array}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$
在上式中：

• $f(x)$是一个特征函数：
  
  “如果$x,y$满足某种条件”，这句话一开始让我摸不着头脑，后来才明白，可以把它看成，$x,y$这种组合若出现在样本空间中，则为1，否则为0。它们的个数为$n$个（样本的个数）。

举个栗子：当体温小于38，血压小于100，血糖小于30时，总是得小病。这就是一个综合后的先验知识。
我们可以据此定义一个特征函数：f(x,y) = 1 当且仅当 x ={体温小于38，血压小于100，血糖小于30}，y=小病

• $w_i$是特征的权值。

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2. 最大熵模型的推导

想要弄清楚最大熵模型、logistics模型以及softmax模型之间的关系，我们需要先看看他们各自的原理。首先从最大熵模型入手。

2.1 最大熵原理

学习概率模型时，在所有可能的概率模型（分布）中，熵最大的模型是最好的模型。通常通过约束条件来确定概率模型的集合。

首先要明确两个问题：

• 熵最大有什么意义吗？
  我们之前提过信息熵表示不确定程度，所以熵最大，也就是系统的不确定程度最大，系统中没有任何个人的主观假设。
• 最大熵是什么？
  当你要猜一个概率分布时，如果你对这个分布一无所知，那就猜熵最大的均匀分布，如果你对这个分布知道一些情况，那么，就猜满足这些情况的熵最大的分布。

下面两个网址是描述的比较清楚的：

• 图解最大熵原理（The Maximum Entropy Principle）
• 决策树-脚注：为什么在等概率的情况下，熵能达到最大值？

2.2 理论推导

2.2.1 数据准备

数据集$T=\{({\mathbf{x}}_1,y_1),...,({\mathbf{x}}_{\mathbf{n}},y_N)\}$，${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$是一个$m$维的向量，代表样本空间中的第$i$个值，类标签为$y=\{1,2,..,k\}$。

那么，根据样本空间中的$n$条数据，可以计算$x$的概率分布以及$\mathbf{x},y$的联合概率分布，分别记为$P(\mathbf{x})$和$P(\mathbf{x},y)$（因为是根据样本数据求出来的，并不能代表真实世界中的分布，所以上面加了波浪线）。

2.2.2 理论依据

2.2.2.1 目标

因为熵最大的模型是最好的模型，我们的任务就是找到这样一个最好的模型。但是，俗话说，最适合自己的才是最好的，所以，找最大熵就变成了找在给定样本空间条件下的最大熵模型——条件熵，根据条件熵的定义，条件熵为：（为什么请看这里：《决策树【python实现】》— 条件熵）
$$H(P)=-\sum _{x,y}P(x,y)logP(y|x)$$
根据贝叶斯公式，又可以写成
$$H(P)=-\sum _{x,y}P(x)P(y|x)logP(y|x)\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

这个时候，我们只要找到最大的$P(y|x)$就好了。

2.2.2.1 条件

公式(2.1)中条件概率的意义是：根据特征$\mathbf{x}$计算出属于$y$的概率能够最大化，$y$的编号为$k$。也就是说，我们的目标是求$P(y_i=k|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})$，简写为$P(y|\mathbf{x})$。

但是，仅仅一个样本上表现出良好的性能还不够，要在整个空间上都表现良好。根据我们手上的筹码：样本数据，再借助之前提到的特征函数，我们可以很好的量化这个评价指标，于是有就有了下面两个期望的计算公式：

1. 特征函数$f(\mathbf{x},y)$关于$P(\mathbf{x},y)$的期望值为：
   $$E_P(f)=\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x},y)f(\mathbf{x},y)\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
2. 由于我们的目标是求$P(y|\mathbf{x})$，那么，借助贝叶斯公式，我们可以得出第二个期望的计算公式：
   $$E_P(f)=\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x})P(y|\mathbf{x})f(\mathbf{x},y)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

如果，在样本空间中，这俩公式能相等的话，就十分完美了，于是有：
$$\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x},y)f(\mathbf{x},y)=\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x})P(y|\mathbf{x})f(\mathbf{x},y)\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

根据$f(\mathbf{x},y)$的定义可知，有多少种特征和类标签前的组合，就有多少个**约束条件。那么，把样本空间中的所有约束条件都算上，

那么，也就是说，我们要在这个空间中找一个没有任何主观假设的模型，即条件概率的最大熵。

2.3 具体化最大熵模型目标函数

说实话，上面的式子，很抽象，需要转化一下。

2.3.1 把求max的问题转化成求min的问题。

$$\underset{p\in C}{\max }H(P)=-\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x})P(y|\mathbf{x})logP(y|\mathbf{x})$$
等价于求
$$\underset{p\in C}{\min }-H(P)=\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x})P(y|\mathbf{x})logP(y|\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
引入拉格朗日算子$w_1,w_2,...,w_n$，可得到方程：
$$\begin{array}{rl}L(P,w)& =-H(P)+w_0(1-\sum _{y}P(y|\mathbf{x}))+\sum _{i=1}^n[w_i(E_P(f_i(\mathbf{x},y))-E_P(f_i(\mathbf{x},y)))]\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$
$$\begin{array}{rl}& =\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x})P(y|\mathbf{x})logP(y|\mathbf{x})+\\ & w_0[1-\sum _{y}P(y|\mathbf{x})]+\\ & \sum _{i=1}^n\{w_i[\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x},y)f_i(\mathbf{x},y)-\sum _{\mathbf{x},y}P(\mathbf{x})P(y|\mathbf{x})f_i(\mathbf{x},y)]\}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

2.3.2 转化为对偶问题

由最优化问题可知，我们的目标是求：
$$\begin{array}{r}\underset{p\in C}{\min }\underset{w}{\max }L(P,w)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.8-1)}$$
可转化为：
$$\begin{array}{r}\underset{w}{\max }\underset{p\in C}{\min }L(P,w)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.8-2)}$$

基本思想是：先把$\underset{p\in C}{\min }L(P,w)$的解用$w$表示出来，然后再求$w$的解即可。

2.3.2.1 第一步

先求$\underset{p\in C}{\min }L(P,w)$：

当$L(P,w)$满足约束条件时，令
$$\psi (w)=\underset{p\in C}{\min }L(P,w)=L(P_w,w)\text{\hspace{1em}(2.9)}$$
设$\psi (w)$的解为$P_w(y|x)$，求$L(P,w)$对$P(y|x)$的偏导数，并令其为0：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial L(P,w)}{\partial p(y|x)}& =\sum _{x,y}\{P(x)logP(y|x)+P(x)\}-\sum _y{w}_0+\sum _{i=1}^n\{w_i[0-\sum _{x,y}P(x)f_i(x,y)]\}\end{array}$$
因为：${\sum }_{x}P(x)=1$，所以有：
$$\sum _{x,y}P(x)w_0=\sum _y{w}_0$$
所以有：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial L(P,w)}{\partial p(y|x)}& =\sum _{x,y}P(x)(logP(y|x)+1)-\sum _{x,y}P(x)w_0-\sum _{i=1}^n\{w_i\sum _{x,y}P(x)f_i(x,y)\}\\ & =\sum _{x,y}P(x)(logP(y|x)+1)-\sum _{x,y}P(x)w_0-\sum _{i=1}^n\{w_i\sum _{x,y}P(x)f_i(x,y)\}\\ & =\sum _{x,y}P(x)\{(logP(y|x)+1)-w_0-\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)\}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.10)}$$
令式(2.10)为$0$，则有：
$$\begin{array}{rl}0=& \sum _{x,y}P(x)\{(logP(y|x)+1)-w_0-\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)\}\\ p(y|x)=& \exp (w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)-1)\\ p(y|x)=& \frac{\exp ({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}{\exp (1-w_0)}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.11)}$$
又因${\sum }_{y}p(y|x)=1$，代入公式(2.11)，则有：
$$\begin{array}{rl}1=& \sum _y\frac{\exp ({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}{\exp (1-w_0)}\\ \exp (1-w_0)=& \sum _y\exp (\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))\end{array}\text{\hspace{1em}(2.12)}$$
令(2.12)为$Z_w(x)$，代入(2.11)，结果记为$p_w(y|x)$，则有
$$\begin{array}{rl}{p}_w(y|x)=& \frac{\exp ({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}{{\sum }_y\exp ({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$
因此，优化目标$\psi (x)$的解为公式(2.13)，其中$Z_w(x)$被称为规范化因子。

2.3.2.2 第二步

再使(2.13)极大化，求$w$。
即求
$$\begin{array}{r}\underset{w}{\max }\psi (w)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

由于(2.13)式并没有一个显式的解析解，因此需要借助于数值的方法。由于是一个光滑的凸函数，所以可以求解的方法很多。可以使用的方法有：

1. 通用迭代尺度法（GIS: Generalized Iterative Scaling）。
2. 改进的迭代尺度法（IIS: Improved Iterative Scaling）。
3. 梯度下降算法
4. 拟牛顿法（牛顿法）

其中，前两个方法是专门为最大熵模型而设计的，后两种方法为通用的算法。

其实到这里，最大熵模型的理论推导就算结束了。

2.4 最大熵模型的似然估计

在公式(2.14)中，因为$p_w(y|x)$是在${\sum }_{y}p(y|x)=1$的条件下得出，故而有：
$$\begin{array}{rl}L(P_w,w)& =-H(P_w)+\sum _{i=1}^n[w_i(E_P(f_i(x,y))-E_{P_w}(f_i(x,y)))]\\ & =\sum _{x,y}P(x)P_w(y|x)log{P}_w(y|x)+\sum _{i=1}^n{w}_i(E_P(f_i(x,y))-\sum _{x,y}P(x)\cdot P_w(y|x)\cdot f_i(x,y))\\ & =\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot E_P(f_i(x,y))+\sum _{x,y}P(x)P_w(y|x)\cdot (log{P}_w(y|x)-\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))\end{array}\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

将
$$\begin{array}{rl}{P}_w(y|x)=& \frac{exp({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}{{\sum }_{y}exp({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$
代入公式(2.15)，得
$$\begin{array}{rl}L(P_w,w)& =\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot E_P(f_i(x,y))+\sum _{x,y}P(x)P_w(y|x)\cdot (\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)-log{P}_w(x)-\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))\\ & =\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot E_P(f_i(x,y))-log{Z}_w(x)\cdot \sum _{x,y}P(x)P_w(y|x)\\ & =\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot E_P(f_i(x,y))-log{Z}_w(x)\cdot (\sum _x\sum _{y}P(x)P_w(y|x))\\ & =\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot E_P(f_i(x,y))-log{Z}_w(x)\cdot (\sum _{x}P(x))\\ & =\sum _{i=1}^n{w}_i\cdot \sum _{x,y}P(x,y)f_i(x,y)-log{Z}_w(x)\cdot (\sum _{x}P(x))\end{array}\text{\hspace{1em}(2.17)}$$
又因为最大熵模型的似然估计有：
$$\begin{array}{rl}{L}_P(P_w)& =\sum _{x,y}P(x,y)logP(y|x)\\ & =\sum _{x,y}P(x,y)\cdot (\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)-log{Z}_w(x))\\ & =\sum _{x,y}P(x,y)\cdot \sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y)-log{Z}_w(x)\cdot \sum _{x,y}P(x)P_w(y|x)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.18)}$$

所以公式(3.1)=(2.16)。故而，对偶函数的极大化 = 最大熵模型的似然估计。

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3. 三个模型的关系

最大熵模型

$$\begin{array}{rl}{p}_w(y|x)=& \frac{\exp ({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}{{\sum }_y\exp ({\sum }_{i=1}^n{w}_i{f}_i(x,y))}\end{array}$$

logistic 模型

当特征函数为：
$$f_i(x)=\{\begin{array}{cc}{x}_i& y=1\\ 0& y=0\end{array}$$
当我们分类的数目为$\{0,1\}$时：
$$\begin{array}{rl}{p}_w(y_i=0|x_i)=& \frac{1}{1+\exp (\mathbf{w}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{p}_w(y_i=1|x_i)=& \frac{\exp (\mathbf{w}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{1+\exp (\mathbf{w}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\end{array}$$

softmax 模型

当特征函数为：
$$f_i(x)=x_i$$
$$\begin{array}{rl}{p}_w(y_i=k|x_i)=& \frac{\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{{\sum }_{k=1}^K\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\end{array}$$

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4. logistic 模型

4.1 使用背景

主要是分类问题，即$x\in R$是样本的特征，而 $y\in \{0,1\}$是类别的标号，那么样本属于某个类别的概率可以用$x$来直接表示。通俗的来说，就是线性模型外面穿了一层马夹。

4.2 logistics模型构建

Logistics模型的基本思想也是线性回归，其公式为：
$$\begin{array}{r}P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})=\frac{\exp (w\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{1+\exp (w\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.1)}$$
公式(4.1)被称为sigmoid函数，

同样的，由公式(4.1)可以推导出：
$$\begin{array}{r}\frac{P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{1-P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}=e^{w\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
称公式(1.2)为几率，表示某种事情发生的可能性与不可能发生的可能性之比。，取自然对数则有：
$$\ln (\frac{P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{1-P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})})=w\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
其中，$\ln (\frac{P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{1-P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})})$称为$P(y|\mathbf{x})$的 logit 函数。该模型称为 logistics模型，其中$w$反映了当$x$增加一个单位时，样本属于$y=1$类的几率在对数尺度上增加的幅度。

4.3 极大似然估计参数

设$P(y_i=1|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})=\pi ({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})，P(y_i=0|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})=1-\pi ({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})$，则每个样本$({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}},y_i)$出现的概率为：
$$P({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}},y_i)=\pi ({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}{)}^{y_i}(1-\pi ({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}){)}^{1-y_i}$$

似然函数为：
$$\begin{array}{rl}L(w)=& \prod _{i=1}^N[\pi ({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}){]}^{y_i}[1-\pi ({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}){]}^{1-y_i}\\ \log L(w)=& \sum _{i=1}^N[y_i(w\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})-\log (1+\exp (w\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}))]\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
目标是找到$w$使得$L(w)$达到最大值，让公式(1.4)对$w$求导得：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \log L(w)}{\partial w}=& \sum _{i=1}^N[y_i{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}-\frac{1}{1+\exp (w\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\exp (w\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})\cdot {\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}]\\ \frac{\partial \log L(w)}{\partial w}=& \sum _{i=1}^N{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}[y_i-P(y_i|{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})]\end{array}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

令(1.5)为0，求出$w$即可，但该方程组无法求解析解，一般使用梯度上升迭代求得。

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5. softmax 模型

当特征函数为：
$$f_i(x)=x_i$$
$$\begin{array}{rl}{p}_w(y_i=k|x_i)=& \frac{\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}{{\sum }_{k=1}^K\exp ({\mathbf{w}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}})}\end{array}$$
一个多分类问题，C = 4。线性分类器模型最后输出层包含了四个输出值，分别是：
$$V=\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\\ -1\\ 0\end{array}\right]$$
经过Softmax处理后，数值转化为相对概率：
$$S=\left[\begin{array}{c}0.0057\\ 0.8390\\ 0.0418\\ 0.1135\end{array}\right]$$
很明显，Softmax 的输出表征了不同类别之间的相对概率。我们可以清晰地看出，S1 = 0.8390，对应的概率最大，则更清晰地可以判断预测为第1类的可能性更大。Softmax 将连续数值转化成相对概率，更有利于我们理解。

5.1 一个直观的例子

softmax函数最明显的特点在于：它把每个神经元的输入占当前层所有神经元输入之和的比值，当作该神经元的输出。这使得输出更容易被解释：神经元的输出值越大，则该神经元对应的类别是真实类别的可能性更高。
另外，softmax不仅把神经元输出构造成概率分布，而且还起到了归一化的作用，适用于很多需要进行归一化处理的分类问题。

5.2 softmax相关求导

以下内容来自：softmax的log似然代价函数（公式求导）

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6. 参考文献

• 《统计学习方法》
• 决策树【python实现】
• 图解最大熵
• 机器学习面试之最大熵模型
• 详解最大熵
• 最大熵模型推导
• 如何理解最大熵模型里面的特征？
• Softmax vs. Softmax-Loss: Numerical Stability
• softmax函数以及相关求导过程