离散信号（四）| 周期信号 |离散傅里叶级数（DFS）推导 + 主要性质（周期卷积定理、帕斯瓦尔定理）

离散傅里叶变换（DFT）要解决两个问题：一是信号离散化后它的频谱情况；二是快速运算算法。第一个问题将涉及周期离散信号的傅里叶级数（DFS），以及由DFS得到非周期信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）和有限长序列的离散频谱表示；第二个问题将涉及DFT的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）。

周期信号的频域分析

与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展成傅里叶级数形式，并由此得出一新的变换对——离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series），简记为DFS。

（一）离散傅里叶级数（DFS）的引入

可以从连续周期信号傅里叶级数的复指数形式导出周期序列的DFS。连续周期信号傅里叶级数的复指数形式为
$$x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k{w}_0)e^{jk{w}_{0}t}\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$X(k{w}_0)=\frac{1}{T_0}{\int }_0^{T_0}x(t)e^{-jk{w}_{0}t}dtk=0,1,2,\cdots \text{\hspace{1em}(2)}$$

对连续周期信号$x(t)$的一个周期$T_0$进行N点采样，即$T_0=NT,w_0=\frac{2\pi }{T_0}=\frac{2\pi }{NT}$，T为采样周期，这样采样得到的离散序列$x(n)$是以N为周期的周期序列，即
$$x(n)=x(n+mN)(m为任意整数)$$
设${\Omega }_0=w_{0}T=\frac{2\pi }{N}$为离散域的基本频率，单位为弧度，$k{\Omega }_0$是k次谐波的数字频率。这样，在式（2）中，$t=nT,dt=T$，在一个周期内的积分变为在一个周期内的累加，即
$$X(k\frac{{\Omega }_0}{T})=\frac{1}{NT}\sum _{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-jk\frac{{\Omega }_0}{T}nT}T=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-jk{\Omega }_{0}n}$$
在序列表示中，可仅用$n$表示nT，对应地，用$k{\Omega }_0$表示$k\frac{{\Omega }_0}{T}$，则上式为
$$X(k{\Omega }_0)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk{\Omega }_{0}n}=\frac{1}{N}\sum _{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}x(n)e^{-jk{\Omega }_{0}n}k=0,1,2,\cdots ,N-1\text{\hspace{1em}(3)}$$
$X(k{\Omega }_0)$是变量k的周期函数，周期为N，因为对任意整数q有
$$x((k+qN){\Omega }_0)=X(k{\Omega }_0)$$
当周期信号从连续域变换到离散域以后，它的频率$w$从$-\infty \sim +\infty$的无限范围映射到数字频率$\Omega$从$0\sim 2\pi$的有限范围。因此，连续周期信号的傅里叶级数可表示为具有无限多个谐波分量，而离散周期信号只含有有限个谐波分量，其谐波数为$k=\frac{2\pi }{{\Omega }_0}=N$。所以对应于式（1）离散化处理后为
$$x(n)=\sum _{k=0}^{N-1}X(k{\Omega }_0)e^{jk\frac{{\Omega }_0}{T}nT}=\sum _{k=0}^{N-1}X(k{\Omega }_0)e^{jk{\Omega }_{0}n}\text{\hspace{1em}(4)}$$
从式（3）和式（4）可以看出，$x(n)$以N为周期，$x(n)$的频谱就以${\Omega }_0=\frac{2\pi }{N}$的基本频率为间距离散化了。由此可以得到一个结论：周期序列的频谱是离散的。在前面的内容，我们看到了信号时域离散化、频域周期化这种现象；在这里，有完全对称的另一种情况，那就是时域周期化，频域离散化。

式（3）和式（4）描述了$x(n)$和$X(k{\Omega }_0)$相互计算的一对关系式。其中式（4）可以看作周期系列$x(n)$的傅里叶级数展开式，而$X(k{\Omega }_0)$则可以看作是$x(n)$的傅里叶级数展开式的系数。人们称满足这对关系式的周期序列$x(n)$和$X(k{\Omega }_0)$为离散傅里叶级数变换对，简记为
$$x(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }X(k{\Omega }_0)$$
或者表示为$DFS[x(n)]=X(k{\Omega }_0)$和$IDFS[X(k{\Omega }_0)]=x(n)$。即正变换为式（3），反变换为（4）。

（二）DFS的主要性质

1. 线性性质

若$x(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }X(k{\Omega }_0),y(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }Y(k{\Omega }_0)$，则
$$ax(n)+by(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }aX(k{\Omega }_0)+bY(k{\Omega }_0)$$

2. 周期卷积定理

若$x(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }X(k{\Omega }_0),h(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }H(k{\Omega }_0)$，则
$$\begin{gathered} x(n)⨀h(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }X(k{\Omega }_0)H(k{\Omega }_0) \\ x(n)h(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }\frac{1}{N}X(k{\Omega }_0)⨀H(k{\Omega }_0) \end{gathered}$$
$⨀$为周期卷积的符号，两周期序列$x(n)$和$h(n)$的周期卷积定义为
$$x(n)⨀h(n)=h(n)⨀x(n)=\sum _{k=0}^{N-1}x(k)h(n-k)$$
周期卷积和线性卷积的惟一区别在于 周期卷积时仅仅在单个周期内求和，而线性卷积则是对所有的k值求和。

3. 复共轭

若$x(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }X(k{\Omega }_0)$，则
$$x^{\ast }(-n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }{X}^{\ast }(k{\Omega }_0)$$
*表示复共轭

4. 位移性质

若$x(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }X(k{\Omega }_0)$，则
$$x(n-m)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }{e}^{-jk{\Omega }_{0}m}X(k{\Omega }_0)$$

5. 帕斯瓦尔定理

设$x(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }X(k{\Omega }_0),h(n)\stackrel{DFS}{\leftrightarrow }H(k{\Omega }_0)$，则
$$\sum _{n=0}^{N-1}x(n)h^{\ast }(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k{\Omega }_0)H^{\ast }(k{\Omega }_0)$$
特别地，当$x(n)=h(n)$时，有
$$\sum _{n=0}^{N-1}|x(n){|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X(k{\Omega }_0){|}^2$$