人工智能数学之信息论

信息论

  信息论（Information Theory）是概率数理统计分支，我们主要看信息论在人工智能中的应用，所以目前只关注相关的信息。例如基于信息增益的决策树，最大熵模型， 特征工程中特征选取时用到的互信息，模型损失函数的交叉熵（cross-entropy）。信息论中log默认以2为底。

基础

1.熵

  直观来说熵就是表示事情不确定性的因素度量，熵越大不确定性就越大，而不确定性越大，带来的信息则越多，所以在熵越高，带来的信息越多，不确定性越强。但是确定的东西，带来的不确定性很小，信息也很少，所以熵很低。熵=不确定性=信息量。他们三个成正比例。例如太阳东升西落，熵就为0。一枚质地均匀的硬币，正反面的出现，熵就为1。
公式
  设X为离散随机变量，概率分布：
  P ( X = xi ) = pi， i = 1,2,3,…,n
  则随机变量X的熵为：
  H（p） = -∑ pi * log pi
  由上式可以得出，太阳东升西落、硬币正反面的熵运算。

2.条件熵

  信息增益理解之前我们要理解一下条件熵，信息增益字面理解，信息增加后对最后的目标结果有多大的益处。也就是说通过选择合适的X特征作为判断信息，让Y的不确定性减少的程度越大，则选择出的X越好。而条件熵H(Y|X)表达就是给定X后，Y的不确定性是多少。
  H ( Y | X ) = -∑ pi * H ( Y | X = xi ）
  这里 pi = P( X = xi ) ，i = 1,2,…,n
  熵和条件熵中的概率如果通过估计得到，例如极大似然估计，则熵和条件熵将会，变名字经验熵和经验条件熵。

交叉熵损失函数

  交叉熵被设置为模型的损失函数，表示的两个概率分布的相似程度，交叉熵越小代表预测的越接近真实。q(x)代表的是预测概率，p(x)代表的是真实概率。

二分类问题交叉熵公式
  L=−[ylog y^+(1−y)log (1−y^)]
  y^代表预测的正例概率。y代表真实标签。模型可以是逻辑回归或者是神经网络，输出值映射成概率值需要sigmoid函数。所以如果二分类的标签值是0和1。则公式可以写成。
  L=−log y^，y=1时，L值和预测值之间的图像

  从图上我们可以看出，当预测值接近1，也就是接近真实值的时候，L交叉熵损失函数值越接近于0。这样我们可以直观的看出，交叉熵损失函数是如何表征了预测值到真实值之间的差距。

信息增益

  信息增益直观来说就是当给了你一条信息X，这条信息对你理解另一条信息Y有没有帮助，如果有帮助，则会使你对信息Y的理解加深，不理解的信息减少。则信息增益就等于Y的熵减给定X后Y的熵。公式如下:
  IG(Y|X) = H(Y)-H(Y|X)
  信息增益作为决策树模型中的核心算法，是决策树模型中非叶子节点选择特征的重要评判标准，简单说一下决策树，决策树模型作为基于实例的模型，主要是叶节点（目标值或者目标类别），非叶节点是用于判断实例的特征属性。之后将依据信息论详细介绍决策树模型。

信息增益率

互信息（Mutual Information）

  概率中两个随机变量的互信息是描述两个变量之间依赖性的度量。它也决定着两个变量的联合概率密度P(XY)与各自边际概率
  P(X)和P(Y)乘积的相似程度。我们可以从概率学的知识了解到，如果X和Y之间相互独立，P(X)P(Y) = P(XY)。和相关系数不同，它不仅能获得线性关系，还可以获得非线性关系。互信息公式如下：

  下图为连续型随机变量互信息的公式：

  p(x,y) 当前是 X 和 Y 的联合概率密度函数，而p(x)和p(y)分别是 X 和 Y 的边缘概率密度函数。

  直观来说，互信息就是度量当已知一个信息，会对另一个信息的不确定性减少的程度，如果XY相互独立，则X不会减少Y的不确定性，互信息为0。所以互信息是非负的。