题目描述
求有多少种长度为 n 的序列 A,满足以下条件:
1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
若第 i 个数 A[i] 的值为 i,则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多,序列数对 10^9+7取模。
输入格式
第一行一个数 T,表示有 T 组数据。
接下来 T 行,每行两个整数 n、m。
输出格式
输出 T 行,每行一个数,表示求出的序列数
数据范围及提示
测试点 1 ~ 3: T = 1000,n≤8,m≤8;
测试点 4 ~ 6: T = 1000, n≤12,m≤12;
测试点 7 ~ 9: T = 1000, n≤100,m≤100;
测试点 10 ~ 12: T = 1000,n≤1000,m≤1000;
测试点 13 ~ 14: T = 500000,n≤1000,m≤1000;
测试点 15 ~ 20: T = 500000,n≤1000000,m≤1000000。
Sample Input
5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000
Sample Output
0
1
20
578028887
60695423
读完题目,可以很容易地想到排列组合 (不要问我为什么,如果想知道,请右上角离开)
首先,根据小学奥数的经验(应该是酱紫的),可以想到,应该固定m个点保证它们稳定,那么,剩下的数只需要都不稳定就好了。(说得容易,我考试就是这步不会)
求固定m个数稳定的所有请款很简单,用排列组合的术语来表示,即是 C n m C_ n^m Cnm
普及一下(不过应该都知道), C n m C_n^m Cnm表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,即从n个不同元素中取出m个元素的组合数;其中组合的定义为:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(不考虑顺序)
这里,给出组合数的公式:
C m n = n ! m ! ∗ ( n − m ) ! C_m^n = \frac{n!}{m! * (n - m)!} Cmn=m!∗(n−m)!n!
其中,特别规定0! = 1
不过,打代码的时候需要注意一个细节,由于n和m很大,所以阶乘也很大,又由于除法实在模运算下的,因此,我们需要借助逆元来完成模运算下的除法运算。
至此,本题的前半部分就解完了。
接下来,我们引入一个概念:错排数
- 假设有n个元素,n个位置,每个元素都有自己唯一的正确位置,问,所有元素都处在错误位置有多少可能
错排数的算法有很多,这里只介绍其中最常用,最简单的递推算法
首先,我们记 f ( n ) f(n) f(n)表示n个数位的错排数,那么:
假设第1个位置放置了第k个数(k≠1),其中k有n - 1种放法,接下来,我们继续研究剩下的n - 1个数:
那么,再用上乘法原理,答案就显而易见了:
a n s n , m = C m n ∗ f ( n − m ) ans_n,_m = C_m^n * f(n - m) ansn,m=Cmn∗f(n−m)
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 1e6;
const LL mod = 1e9 + 7;
int T, n, m;
LL mul[N + 5], inv[N + 5], f[N + 5];
LL exgcd (const LL a, const LL b, LL &x, LL &y) {
if (! b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
LL d = exgcd (b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
LL getInv (const LL a) {
LL x, y;
LL d = exgcd (a, mod, x, y);
return d == 1 ? (x % mod + mod) % mod : -1;
}
void prepare () {
mul[0] = 1; inv[0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; ++ i) {
mul[i] = mul[i - 1] * i % mod;
inv[i] = getInv (mul[i]);
}
f[0] = 1, f[1] = 0;
for (int i = 2; i <= N; ++ i)
f[i] = (i - 1) * ( (f[i - 2] + f[i - 1]) % mod ) % mod;
}
LL sovle () {
return mul[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod * f[n - m] % mod;
}
int main () {
prepare ();
scanf ("%d", &T);
while (T --) {
scanf ("%d %d", &n, &m);
LL ans = sovle ();
printf ("%lld\n", ans);
}
return 0;
}