【洛谷P1006】传纸条【DP】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1006
给出一个$n\times m$的矩阵，每个格子中有权值，求从$(1,1)$到$(n,m)$的两条不相交路径使得路径权值之和最大。

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思路：

很明显可以把题目看成两条不相交的路径从$(1,1)$到$(n,m)$。那么就可以设$f[i][j][k][l]$表示第一条路走到$(i,j)$，第二条路走到$(k,l)$时的权值最大值。那么由于可以直接从上和下两个方向转移过来，所以就有方程
$$f[i][j][k][l]=max(max(f[i-1][j][k-1][l],f[i][j-1][k-1][l]),max(f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k][l-1]))$$
$$+a[i][j]+a[k][l]-((i==k\&j==l)?a[i][j]:0)$$
那么最终答案很明显就是$f[n][m][n][m]$。

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但是这样的时空复杂度太不理想了，所以可以考虑剪枝。
我们发现，如果走了$sum$步，横坐标为$x$，那么很明显纵坐标就是$sum-x$。因为只能往下或右走。那么我们就可以想到另一种方法：
设$f[i][j][k]$表示走了$i$步，两条路的横坐标分别是$j$和$k$时的最大权值和。
这样我们就可以算出两条路的纵坐标，进而进行转移。
方程如下：
$$f[i][j][k]=max(max(f[i-1][j][k],f[i-1][j-1][k-1]),max(f[i-1][j][k-1],f[i-1][j-1][k]))$$
$$+a[j][i-j+1]+a[k][i-k+1]-(j==k?a[j][i-j+1]:0)$$
那么最终答案就是$f[n+m-1][n][n]$。
这样时间复杂度就变成了$O(n^3+nm)$。

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题外话
这道题还可以用网络流做。
摘自 https://www.luogu.org/blog/user21682/solution-p1006

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代码：

$O(n^2{m}^2)$

#include 
#include 
using namespace std;
int a[51][51],f[51][51][51][51],m,x,y,n,k;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      scanf("%d",&a[i][j]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      for (int q=1;q<=n;q++) 
       for (int p=1;p<=m;p++)
       {
          f[i][j][q][p]=max(f[i-1][j][q-1][p],max(f[i][j-1][q-1][p],max(f[i-1][j][q][p-1],f[i][j-1][q][p-1])))+a[i][j]+a[q][p];
          if(i==q&&j==p)f[i][j][q][p]-=a[i][j];
       }
    printf("%d",f[n][m][n][m]);
    return 0;
}

$O(n^3+nm)$

#include 
#include 
#define N 60
using namespace std;

int n,m,f[N+N][N][N],a[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      scanf("%d",&a[i][j]);
    for (int i=1;i<n+m;i++)
     for (int j=1;j<=n;j++)
      for (int k=1;k<=n;k++)
       if (i-j+1>0&&i-k+1>0)
       {
       		f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
       		f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k-1]);
       		f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j][k-1]);
       		f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k]);
       		f[i][j][k]+=a[j][i-j+1]+a[k][i-k+1];
       		if (j==k) f[i][j][k]-=a[j][i-j+1];
       }
    printf("%d\n",f[n+m-1][n][n]);
    return 0;
}