玲珑杯 1160 - 康娜与玲珑杯

题意，在n本书中要拿k本书的倍数的方案，每本书都不同，一本都不拿也算一种方案
1≤k≤3e4或者1≤k≤3e5并且为2的次幂。1≤n≤1018

开始以为是直接求C(n,0)+C(n,k)+C(n,2k)…

求不出来 orz

看了题解后 问了yql大佬

先是可以得到一个递推式
F[i][j]:表示前i本书，拿j本的方案
F[i][j]=F[i-1][j]+F[i-1][j-1]

因为j比较大，我们可以用滚动数组，j=j% k
然后可以得到

答案就是f[n][0]，我们只用求第一行就行了。
设，A为图中第一个矩阵，A矩阵是k*k，如果朴素求第一行的话，时间复杂度为k*k*logn，超时gg… 然后我们发现这个可以用NTT来加速
注意到A是循环矩阵
（什么是循环矩阵？类似于 a1a3a2a2a1a3a3a2a1 的矩阵）

如果A= a1a3a2a2a1a3a3a2a1
则A*A的第一行为(a1*a1+a2*a3+a3*a2 , a1*a2+a2*a1+a3*a3, a1*a3+a2*a2+a3*a1)
这个就是 f(x)=a1+(a2)x+(a3)x2 的卷积模3为0，1，2的值
卷积就可以用NTT了~用NTT的总时间复杂度为O（k*logn*logk），当k为3e4时，为1e7，但k为3e5时就会超时。因为当k>3e4时，k只能为2的幂。一般去长度为k的循环卷积，肯定做的是>2k的FFT，来保证不会出错，但是如果k是2的次幂，就可以直接做长度为k的FFT，就可以直接变成点值之后快速幂。（yql教的：>）当k为2的幂次，时间大概是O（k*logn）

<从这个题中学到了很多，感谢yql~>
<基本上是yql的代码….>

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int maxn = 600005;
#define mod  998244353
#define ll long long
int A[maxn],B[maxn],Ans[maxn],X[maxn];
ll n;int k;
int gg=3;

int fexp(int x,int p){int ans=1;for(;p;p>>=1,x=1LL*x*x%mod)if(p&1)ans=1LL*ans*x%mod;return ans;}

void NTT(int *a,int f,int k){
    for(int i=0,j=0;iif(i>j)swap(a[i],a[j]);
        for(int l=k>>1;(j^=l)>=1);
    }

    for(int i=1;i1)
    {
        int w=fexp(gg,(f*(mod-1)/(i<<1)+mod-1)%(mod-1));
        for(int j=0;j1){int e=1;
            for(int k=0;k1LL*e*w%mod){int x,y;
                x=a[j+k];y=1LL*a[j+k+i]*e%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }

    if(f==-1){
        int _inv=fexp(k,mod-2);
        for(int i=0;i1LL*a[i]*_inv%mod;
    }
}
void Work(){
    if((k&(-k))==k)
    {
        NTT(X,1,k);
        NTT(Ans,1,k);
        for(;n;n>>=1)
        {
            if(n&1) for(int i=0;i1LL*Ans[i]*X[i]%mod;
            for(int i=0;i1LL*X[i]*X[i]%mod;
        }
        NTT(Ans,-1,k);
    }
    else {
        int t;
        for(t=1;t<=(k*2);t<<=1);
        for(;n;n>>=1)
        {
            if(n&1){
                for(int i=0;i0;
                for(int i=0;i1,t),NTT(B,1,t);
                for(int i=0;i1LL*A[i]*B[i]%mod;
                NTT(A,-1,t);
                for(int i=0;i0;
                for(int i=0;i%k]=(Ans[i%k]+A[i])%mod;
            }
            for(int i=0;i0;
            for(int i=0;i1,t);
            for(int i=0;i1LL*A[i]*A[i]%mod;
            NTT(A,-1,t);
            for(int i=0;i0;
            for(int i=0;i%k]=(X[i%k]+A[i])%mod;
        }
    }
    printf("%d\n",Ans[0]);
}

void init()
{
    Ans[0]=1;X[0]++,X[k-1]++;
}

int main()
{
    scanf("%lld %d",&n,&k);
    init();
    Work();
    return 0;
}