【原创】【数据结构】一维树状数组的基本操作(单点修改,区间查询) (HDU1166 敌兵布阵)


一、背景:

给定一个数列A[n],要你求出区间[i,j]的各数字之和。

假设要询问很多次。

怎么办呢?打暴力?如果每次查询都要把区间里每一个数都加起来,时间可能会很大。

有一种较为简便的方法,就是统计对于每一个节点i,区间[1,i]各数之和(也就是前缀和,下文记为S[i]),如果要算区间[i,j]各数之和,只需算S[j]-S[i]。而一边输入就可以一边计算S[i],非常的实惠。

但是,如果我一边查询,一边修改数列呢?如果我把i号节点修改,那么S[i],S[i+1],.......,一直到S[n]都要修改。又会超时。

问题来了,我们能不能同时存储S[i],又让修改的次数尽可能少呢?

树状数组诞生了。


二、树状数组的基本概念:

如下图:


【原创】【数据结构】一维树状数组的基本操作(单点修改,区间查询) (HDU1166 敌兵布阵)_第1张图片


可以看到,除了原数组A外,还有另外一个数组C在储存前缀和。但C[i]存的不一定是i的前缀和,它是有选择的。

怎么选的呢?


易发现,C[奇数]是它自己,C[偶数]就要不止一个。比如2->2,4->4,6->2,8->4,10->2。有什么规律呢?

2=2^1,4=2^2,6=2^1*3,8=2^3,10=2^1*5

2->2   ,4->4  ,6->2      ,8->8   ,10->2   

规律已经很明了了,i里有几个2,乘起来就是了

可以用

int x=1;

while(i%2==0) i/=2,x*=2;

来计算往前走的位数。


从二进制的角度来看,这个位数就是i(2)从右往左数,第一个1的值。

比如:8(10)=1000(2),这个1的值是8,6(10)=110(2),这个1的值是2。

我们可以用

i & (-i)  ( 下文记为lowbit(i) )

来计算它往前走的位数。


接着,怎么求和呢?

比如S[12],看图,可以发现:S[12]=C[12]+C[8]。而lowbit(12)=4,12-lowbit(4)=8。也就是说,我们只需要把i不停地减lowbit(i),就可以算出S[i]了。

也就是:

int sum=0;

while(i>0) sum+=A[i],i-=lowbit(i);

(记为getsum(i))


现在要修改了。

如果要修改一个节点,那么之后所有包含它的值都要更改(也就是不停地找它的爸爸)。

那么我们就可以写出代码:

while(i<=n) A[i]+=add,i+=lowbit(i);

(记为update(i,add))


来做一道例题吧!


敌兵布阵

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习,所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段,所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动,可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。 
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动,而Derek每次询问的段都不一样,所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数,很快就精疲力尽了,Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔,算得这么慢,我炒你鱿鱼!”Tidy想:“你自己来算算看,这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下,Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说:“死肥仔,叫你平时做多点acm题和看多点算法书,现在尝到苦果了吧!”Tidy说:"我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼,这么算他真的会崩溃的,聪明的读者,你能写个程序帮他完成这项工作吗?不过如果你的程序效率不够高的话,Tidy还是会受到Derek的责骂的. 


Input
第一行一个整数T,表示有T组数据。 
每组数据第一行一个正整数N(N<=50000),表示敌人有N个工兵营地,接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人(1<=ai<=50)。 
接下来每行有一条命令,命令有4种形式: 
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人(j不超过30) 
(2) Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人(j不超过30); 
(3) Query i j ,i和j为正整数,i<=j,表示询问第i到第j个营地的总人数; 
(4) End 表示结束,这条命令在每组数据最后出现; 
每组数据最多有40000条命令 


Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车, 
对于每个Query询问,输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。 


Sample Input
1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End 


Sample Output
Case 1:
6
33
59


这就是一道模板题,初始化一条队列,然后进行树状数组的基本操作。

但是要注意初始化。因为我们的C[i]存的不是A[i]的值,而是update()了很多次后的值,所以不要直接读入C[i]。正确的方式是读入一个值add,然后upadate(i,add)。


详见代码:

#include
#include
#include
using namespace std;
char ask[10];
int da,db,T,tes,n,ared[51234];
int lowbit(int a)
{
	return a & (-a);
}
int getsum(int p)
{
	int sum=0;
	while(p)
		sum+=ared[p],p-=lowbit(p);
	return sum;
}
void update(int p,int add)
{
	while(p<=n)
		ared[p]+=add,p+=lowbit(p);
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	for(int tttt=1;tttt<=T;tttt++)
	{
		memset(ared,0,sizeof ared);
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&da);
			update(i,da);
		}
		printf("Case %d:\n",tttt);
		while(1)
		{
			scanf("%s",ask);
			if(strcmp(ask,"End")==0) break;
			else if(strcmp(ask,"Add")==0)
			{
				scanf("%d %d",&da,&db);
				update(da,db);
			}
			else if(strcmp(ask,"Sub")==0)
			{
				scanf("%d %d",&da,&db);
				update(da,-db);
			}
			else 
			{
				scanf("%d %d",&da,&db);
				printf("%d\n",getsum(db)-getsum(da-1));
			}
		}
	}
}
这就是树状数组的基本应用,单点修改,区间查询。

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