【原创】【数据结构】一维树状数组的基本操作（单点修改，区间查询） （HDU1166 敌兵布阵）

一、背景：

给定一个数列A[n]，要你求出区间[i,j]的各数字之和。

假设要询问很多次。

怎么办呢？打暴力？如果每次查询都要把区间里每一个数都加起来，时间可能会很大。

有一种较为简便的方法，就是统计对于每一个节点i，区间[1,i]各数之和(也就是前缀和,下文记为S[i])，如果要算区间[i,j]各数之和，只需算S[j]-S[i]。而一边输入就可以一边计算S[i]，非常的实惠。

但是，如果我一边查询，一边修改数列呢？如果我把i号节点修改，那么S[i],S[i+1],.......,一直到S[n]都要修改。又会超时。

问题来了，我们能不能同时存储S[i]，又让修改的次数尽可能少呢？

树状数组诞生了。

二、树状数组的基本概念：

如下图：

可以看到，除了原数组A外，还有另外一个数组C在储存前缀和。但C[i]存的不一定是i的前缀和，它是有选择的。

怎么选的呢？

易发现，C[奇数]是它自己，C[偶数]就要不止一个。比如2->2,4->4,6->2,8->4,10->2。有什么规律呢？

2=2^1,4=2^2,6=2^1*3,8=2^3,10=2^1*5

2->2   ,4->4  ,6->2      ,8->8   ,10->2   

规律已经很明了了，i里有几个2，乘起来就是了。

可以用

int x=1;

while(i%2==0) i/=2,x*=2;

来计算往前走的位数。

从二进制的角度来看，这个位数就是i(2)从右往左数，第一个1的值。

比如：8(10)=1000(2),这个1的值是8,6(10)=110(2),这个1的值是2。

我们可以用

i & (-i)  ( 下文记为lowbit(i) )

来计算它往前走的位数。

接着，怎么求和呢？

比如S[12]，看图，可以发现：S[12]=C[12]+C[8]。而lowbit(12)=4,12-lowbit(4)=8。也就是说，我们只需要把i不停地减lowbit(i),就可以算出S[i]了。

也就是：

int sum=0;

while(i>0) sum+=A[i],i-=lowbit(i);

(记为getsum(i))

现在要修改了。

如果要修改一个节点，那么之后所有包含它的值都要更改(也就是不停地找它的爸爸)。

那么我们就可以写出代码：

while(i<=n) A[i]+=add,i+=lowbit(i);

(记为update(i,add))

来做一道例题吧！

敌兵布阵

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。 
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的. 

Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。 
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。 
接下来每行有一条命令，命令有4种形式： 
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30） 
(2) Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）; 
(3) Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数; 
(4) End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现; 
每组数据最多有40000条命令 

Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车, 
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。 

Sample Input
1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End 

Sample Output
Case 1:
6
33
59

这就是一道模板题，初始化一条队列，然后进行树状数组的基本操作。

但是要注意初始化。因为我们的C[i]存的不是A[i]的值，而是update()了很多次后的值，所以不要直接读入C[i]。正确的方式是读入一个值add，然后upadate(i,add)。

详见代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
char ask[10];
int da,db,T,tes,n,ared[51234];
int lowbit(int a)
{
	return a & (-a);
}
int getsum(int p)
{
	int sum=0;
	while(p)
		sum+=ared[p],p-=lowbit(p);
	return sum;
}
void update(int p,int add)
{
	while(p<=n)
		ared[p]+=add,p+=lowbit(p);
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	for(int tttt=1;tttt<=T;tttt++)
	{
		memset(ared,0,sizeof ared);
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&da);
			update(i,da);
		}
		printf("Case %d:\n",tttt);
		while(1)
		{
			scanf("%s",ask);
			if(strcmp(ask,"End")==0) break;
			else if(strcmp(ask,"Add")==0)
			{
				scanf("%d %d",&da,&db);
				update(da,db);
			}
			else if(strcmp(ask,"Sub")==0)
			{
				scanf("%d %d",&da,&db);
				update(da,-db);
			}
			else 
			{
				scanf("%d %d",&da,&db);
				printf("%d\n",getsum(db)-getsum(da-1));
			}
		}
	}
}

这就是树状数组的基本应用，单点修改，区间查询。