最小生成树之 prim算法、kruskal算法（详细分析）

最小生成树知识点

什么是最小生成树？

生成树：一个连通图含有图中全部$n$个顶点，但只有足以构成一棵树的$n-1$条边。一颗有$n$个顶点的生成树有且仅有$n-1$条边，如果生成树中再添加一条边，则必成环。

最小生成树：在连通的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。

如何求到最小生成树？

① Prim算法

原理：从起始顶点出发，选择当前可用的最小权值边，把对应的顶点加入到当前建立的生成树中来。

令初始状态为$w$,所有顶点的结合为$V$,当前剩余没用的顶点集合为$v$
(1) 初始化：$u=s,v=V-u$
(2) 找出一条连接集合$u$和$v$的最小代价的边$(u0,v0)$,把它连起来，并将$v0$加入到$u$中，并修改相关权值（集合$u$和$v$的最小代价边）。
(3) 重复操作2，直到所有$n$个顶点都被连上为止。

Prim算法过程

代码

代码与最短路中的Dijkstra有点像

#include
#include
#include
using namespace std;
const int M=10005;
int G[M][M];
int dis[M],m,n;
bool flag[M];
int Prim(){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(flag,false,sizeof(flag));
	dis[1]=0;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int id=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(!flag[j]&&(id==0||dis[id]>dis[j])){
				id=j;
			}
		}
		flag[id]=true;
		ans+=dis[id];
		for(int j=1;j<=n;j++){
			dis[j]=min(dis[j],G[id][j]);
		}
	}
	return ans;
} 
int main(){
	memset(G,0x3f,sizeof(G));
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int s,t,w;
		scanf("%d %d %d",&s,&t,&w);
		G[s][t]=G[t][s]=w;
	}
	printf("%d",Prim());
}

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② Kruskal算法

原理：从边出发，初始状态下最小生成树选取$0$条边，在计算的过程中，每次添加一条满足条件的最小代价的边进入最小生成树中，直到选取$n-1$条边为止。

步骤：
(1) 将所有的边按照代价从小到大的顺序进行排序。
(2) 把图中的$n$个顶点看做是独立的$n$棵树。
(3) 按照权值从小到大的顺序进行选择，如果连续的两端不属于同一棵树，那么就选取这条线，否则，就不选取并继续查找。
(4) 重复操作3，直到选取了满足条件的$n-1$条边为止。

代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int M=100005;
struct edge{
	int u,v,w;
}G[M];
int f[M],n,m;
bool cmp(edge x,edge y){
	return x.w<y.w;
}
int get(int x){
	if(f[x]==x) return x;
	return f[x]=get(f[x]);
}
int Kruskal(){
	sort(G+1,G+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=i;
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=get(G[i].u),y=get(G[i].v);
		if(x==y) continue;
		f[x]=y;
		ans+=G[i].w;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d %d %d",&G[i].u,&G[i].v,&G[i].w);
	}
	printf("%d",Kruskal());
}