算法之旅 Euclid算法的扩展

Euclid算法的扩展

• 真言

有时候真的感觉时间不够用，村里人事挺多的，时间就这么浪费了。

• 算法

Euclid算法是求最大公约数的，介绍请点击 在这。

Euclid算法的扩展如下

引理 如果d整除a和b，同时存在整数x和y，使得d = ax+by成立，那么一定有d = gcd（a，b）。

证明如下

1. d能整除 a和b，d <= gcd(a,b).
2. d能整除 a和b，d就能整除 ax和by，gcd(a,b) <= d.

so gcd(a,b) == d

递归思想从上往下 

a，b ----->  b, a mod b

从下往上

b*x' + (a mod b)*y' = d     ----->    a*x + b*y = d

but how can we get x and y? Solution follows

if(b == 0)

 x = 1, y = 0, d = a

• 实验

• 代码

test.cpp

#include
using namespace std;


class xyd
{
public:
	int x ;
	int y ;
	int d ;
};


// function Euclid 
xyd * Euclid_extra(int a,int b);

// function main 
int main()  
{  
	int a,b,i = 0;  
	xyd * R = new xyd;
	int max;
	while( i<55 )  
	{  
		a = rand()%10;  
		b = rand()%10;  
		if( ax="<x<<",R->y="<y<<",d="<d< x = 1;
			R -> y = 0;
			R -> d = a;
			return R;
		}
		else
		{
			R = Euclid_extra(b,a%b);
		}
		xyd * R2 = new xyd;
		R2 -> x = R -> y;
		R2 -> y = (R -> x) -  (  (a/b) * (R->y)  );
		R2 -> d = R->d;
		return R2;
	}
}