【JZOJ4474】【luoguP4071】排列计数

description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：
(1)1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
(2)若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

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analysis

• 首先$n$个里有$m$个稳定但不确定顺序，所以有$C_n^m$种方案

• 剩下$n-m$个数一定不放在它们数值的位置上，那么就是$n-m$个数错排的方案数

• 设$f[i]$表示$i$个数错排的方案数，现在要再插入一个数$n$，前面$n-1$个数已经错排

• $n$肯定不能放到第$n$位，只能放其他$n-1$位

• 如果把$n$插到第某$k$位且$k$放到$n$位，那么剩下$n-2$个数仍错排

• 如果把$n$插到第某$k$位且$k$不放到$n$位，那么除了$n$还有$n-1$个数还要错排

• 由于$k$有$n-1$种可能，那么$f[i]=(i-1)\ast (f[i-1]+f[i-2])$

• 如此便解决问题，答案为$C_n^m\ast f[n-m]$

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include
#include
#include
#define MAX 1000000
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll f[MAX+5],fac[MAX+5],inv[MAX+5];
ll n,m,T;

inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline ll pow(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while (y)
	{
		if (y%2)z=z*x%mod;
		x=x*x,y>>=1;
	}
	return z;
}
inline ll C(ll m,ll n)
{
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
	freopen("permutation.in","r",stdin);
	freopen("permutation.out","w",stdout);
	f[0]=1,f[1]=0,f[2]=1,fac[0]=1,inv[0]=inv[1]=1;
	fo(i,1,MAX)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	fo(i,2,MAX)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	fo(i,2,MAX)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
	fo(i,3,MAX)f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%mod;
	T=read();
	while (T--)
	{
		n=read(),m=read();
		printf("%lld\n",C(m,n)*f[n-m]%mod);
	}
	return 0;
}