【JZOJ4474】【luoguP4071】排列计数

description

求有多少种长度为 n 的序列 A,满足以下条件:
(1)1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
(2)若第 i 个数 A[i] 的值为 i,则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多,序列数对 10^9+7 取模。


analysis

  • 首先 n n n个里有 m m m个稳定但不确定顺序,所以有 C n m C^{m}_{n} Cnm种方案

  • 剩下 n − m n-m nm个数一定不放在它们数值的位置上,那么就是 n − m n-m nm个数错排的方案数

  • f [ i ] f[i] f[i]表示 i i i个数错排的方案数,现在要再插入一个数 n n n,前面 n − 1 n-1 n1个数已经错排

  • n n n肯定不能放到第 n n n位,只能放其他 n − 1 n-1 n1

  • 如果把 n n n插到第某 k k k位且 k k k放到 n n n位,那么剩下 n − 2 n-2 n2个数仍错排

  • 如果把 n n n插到第某 k k k位且 k k k放到 n n n位,那么除了 n n n还有 n − 1 n-1 n1个数还要错排

  • 由于 k k k n − 1 n-1 n1种可能,那么 f [ i ] = ( i − 1 ) ∗ ( f [ i − 1 ] + f [ i − 2 ] ) f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]) f[i]=(i1)(f[i1]+f[i2])

  • 如此便解决问题,答案为 C n m ∗ f [ n − m ] C^{m}_{n}*f[n-m] Cnmf[nm]


code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include
#include
#include
#define MAX 1000000
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll f[MAX+5],fac[MAX+5],inv[MAX+5];
ll n,m,T;

inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline ll pow(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while (y)
	{
		if (y%2)z=z*x%mod;
		x=x*x,y>>=1;
	}
	return z;
}
inline ll C(ll m,ll n)
{
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
	freopen("permutation.in","r",stdin);
	freopen("permutation.out","w",stdout);
	f[0]=1,f[1]=0,f[2]=1,fac[0]=1,inv[0]=inv[1]=1;
	fo(i,1,MAX)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	fo(i,2,MAX)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	fo(i,2,MAX)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
	fo(i,3,MAX)f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%mod;
	T=read();
	while (T--)
	{
		n=read(),m=read();
		printf("%lld\n",C(m,n)*f[n-m]%mod);
	}
	return 0;
}

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