Python实现概率分布

一、概率分布

概率分布，是概率论的基本概念之一，主要用以表述随机变量取值的概率规律。为了使用的方便，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。
概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散数据：数据由一个个单独的数值组成，其中的每一个数值都有相应概率。
连续数据：数据涵盖的是一个范围，这个范围内的任何一个数值都有可能成为事件的结果。
离散概率分布包括：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布
连续概率分布包括：正态分布、幂律分布

二、安装python的科学计算包scipy

在python的科学计算包scipy的stats模块计算出常见概率分布的概率值，并用matplotlib包进行绘图。
在notebook环境下安装科学计算包scipy。如果已安装忽略下面安装步骤。
安装步骤：
1)打开终端Anaconda Prompt
2)在conda中运行以下命令：conda install scipy
如果存在多个python环境，先进入想要的环境再安装，比如我自己设置了py2和py3两个环境，先在conda中进入python环境：activate py3，再按上面步骤2执行
如果还没有安装numpy包和matplotlib包，也按上述命令安装这些包

三、概率分布

1.离散概率分布：伯努利分布（Bernoulli Distribution）
伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”，即事件的结果只有两个值，且事件之间相互独立，例如抛一次硬币就为一次伯努利试验，结果要么为正面要么为反面，因此它符合伯努利分布。伯努利试验只做一次。
伯努利试验的特点是：
（1）每次试验中事件只有两种结果：事件发生或者不发生，如硬币正面或反面，患病或没患病；
（2）每次试验中事件发生的概率是相同的，注意不一定是0.5；
（3）n次试验的事件相互之间独立。
公式为：

期望与方差：

案例：玩抛硬币的游戏，只抛1次硬币，成功抛出正面朝上记录为1，反面朝上即抛硬币失败记录为0
思路：

# 案例：玩抛硬币的游戏，只抛1次硬币，成功抛出正面朝上记录为1，反面朝上即抛硬币失败记录为0

# 导入包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 统计计算包的统计模块
from scipy import stats
# 解决jupyter 中文问题
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] 

'''
第1步，定义随机变量：1次抛硬币
正面朝上记录为1，反面朝上记录为0
'''
# arange用于生成一个等差数组，arange([start, ]stop, [step, ]
X1 = np.arange(0,2,1)
X1

'''
第2步，求对应分布的概率：概率质量函数（PMF）
返回一个列表，列表中每个元素表示随机变量中对应值的概率
'''
p1 = 0.5 # 硬币朝上的概率
pList1 = stats.bernoulli.pmf(X1,p1)
pList1

'''
第3步，绘图
plot默认绘制折线
marker：点的形状，值o表示点为圆圈标记（circle marker）
linestyle：线条的形状，值None表示不显示连接各个点的折线
'''
plt.plot(X1,pList1,marker='o',linestyle='None')

'''
vlines用于绘制竖直线(vertical lines),
参数说明：vline(x坐标值, y坐标最小值, y坐标值最大值)
我们传入的X是一个数组，是给数组中的每个x坐标值绘制竖直线，
竖直线y坐标最小值是0，y坐标值最大值是对应pList1中的值
'''
plt.vlines(X1,0,pList1)
plt.xlabel('随机变量：抛1次硬币')
plt.ylabel('概率')
plt.title('伯努利分布：p=%.2f' % p1)
plt.show()

2.离散概率分布：二项分布（Binomial Distribution）
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且事件相互独立，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。它计算的结果是做n次试验发生某个结果的概率，例如：抛一次硬币正面朝上的概率，抛两次正面朝上，抛n次正面朝上的概率。
二项分布的特点是：
（1）是在进行一系列独立试验；
（2）每一次都存在成功或失败的可能，每一次试验的成功概率相同；
（3）试验次数有限。
如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，n表示试验次数，X和r表示n次试验中的成功次数，
公式为：

期望与方差：

案例：继续玩抛硬币游戏，假如抛硬币5次，求抛出正面朝上次数的概率

# 案例：继续玩抛硬币游戏，假如抛硬币5次，求抛出正面朝上次数的概率


# 第1步，定义随机变量：5次抛硬币，正面朝上的次数
n2 = 5    # 做某件事情的次数
p2 = 0.5  # 做某件事情成功的概率（抛硬币正面朝上的概率）
X2 = np.arange(0,n2+1,1) # 做某件事成功的次数（抛硬币正面朝上的次数）
X2

# 第2步，求对应分布的概率：概率质量函数（PMF）
# 返回一个列表，列表中每个元素表示随机变量中对应值的概率
pList2 = stats.binom.pmf(X2,n2,p2)
pList2

'''
第3步，绘图
plot默认绘制折线
marker：点的形状，值o表示点为圆圈标记（circle marker）
linestyle：线条的形状，值None表示不显示连接各个点的折线
'''
plt.plot(X2,pList2,marker='o',linestyle='None')

'''
vlines用于绘制竖直线(vertical lines),
参数说明：vline(x坐标值, y坐标最小值, y坐标值最大值)
我们传入的X是一个数组，是给数组中的每个x坐标值绘制竖直线，
竖直线y坐标最小值是0，y坐标值最大值是对应pList2中的值
'''
plt.vlines(X2,0,pList2)
plt.xlabel('随机变量：抛硬币正面朝上的次数')
plt.ylabel('概率')
plt.title('二项分布：n=%i,p=%.2f' % (n2,p2))
plt.show()

3.离散概率分布：几何分布（Geometric Distribution）
几何分布就是在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
几何分布的特点：
（1）进行一系列相互独立的试验；
（2）每一次试验既有成功的可能，也有失败的可能，且单次试验的成功概率相同；
（3）主要是为了取得第一次成功需要进行多少次试验。
公式为：

期望与方差：

案例：向一个喜欢的女孩表白，会存在表白成功和不成功的可能，如果向这个女孩表白，直到表白成功为止，有可能表白1次、2次、3次，现在求首次表白成功的概率

# 案例：继续玩抛硬币游戏，假如抛硬币5次，求抛出正面朝上次数的概率


# 第1步，定义随机变量：5次抛硬币，正面朝上的次数
n2 = 5    # 做某件事情的次数
p2 = 0.5  # 做某件事情成功的概率（抛硬币正面朝上的概率）
X2 = np.arange(0,n2+1,1) # 做某件事成功的次数（抛硬币正面朝上的次数）
X2

# 第2步，求对应分布的概率：概率质量函数（PMF）
# 返回一个列表，列表中每个元素表示随机变量中对应值的概率
pList2 = stats.binom.pmf(X2,n2,p2)
pList2

'''
第3步，绘图
plot默认绘制折线
marker：点的形状，值o表示点为圆圈标记（circle marker）
linestyle：线条的形状，值None表示不显示连接各个点的折线
'''
plt.plot(X2,pList2,marker='o',linestyle='None')

'''
vlines用于绘制竖直线(vertical lines),
参数说明：vline(x坐标值, y坐标最小值, y坐标值最大值)
我们传入的X是一个数组，是给数组中的每个x坐标值绘制竖直线，
竖直线y坐标最小值是0，y坐标值最大值是对应pList2中的值
'''
plt.vlines(X2,0,pList2)
plt.xlabel('随机变量：抛硬币正面朝上的次数')
plt.ylabel('概率')
plt.title('二项分布：n=%i,p=%.2f' % (n2,p2))
plt.show()

4.离散概率分布：泊松分布（Poisson Distribution）
泊松分布描述的是已知一段时间内事件发生的平均数，求某个时间内发生的概率。
泊松分布的特点：
（1）单独事件在给定区间内随机、独立地发生，给定区间可以是时间或空间；
（2）已知该区间内的事件平均发生次数（或叫做发生率），且为有限数值。该事件平均发生次数通常用希腊字母λ(lambda)表示。
公式为：

期望与方差：

其中，r表示给定区间内发生事件的次数；
λ表示每个区间内平均发生次数。

案例：已知某路口发生事故的比率是每天2次，那么在此处一天内发生k次事故的概率是多少？

# 案例：已知某路口发生事故的比率是每天2次，那么在此处一天内发生k次事故的概率是多少？

# 第1 步，定义随机变量
mu4 = 2  # 平均值：每天发生2次事故
k4 = 4   # 次数，现在想知道每天发生4次事故的概率
# 发生事故次数，包含0次，1次，2次，3次，4次事故
X4 = np.arange(0,k4+1,1)
X4

'''
第2步，求对应分布的概率：概率质量函数（PMF）
返回一个列表，列表中每个元素表示随机变量中对应值的概率
分别表示发生0次，1次，2次，3次，4次事故的概率
'''
pList4 = stats.poisson.pmf(X4,mu4)
pList4
print('X4:',X4)
print('pList4',pList4)

# 第3步，绘图
plt.plot(X4,pList4,marker='o',linestyle='None')
plt.vlines(X4,0,pList4)
plt.xlabel('某路口发生k次事故')
plt.ylabel('概率')
plt.title('泊松分布：平均值mu=%i' % mu4 )
plt.show()

5.连续概率分布：正态分布（Normal Distribution）
正态分布（Normal distribution），又名高斯分布（Gaussian distribution），正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，中央部位的概率密度最大。越偏离均值，其概率密度减小。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
概率密度函数f(x)：通过它可以求出一个数据范围内的某个连续变量的概率，可以指出该概率分布的形状。
概率密度：通过面积指出各种范围内的概率大小，通过概率密度函数进行描述。
求解正态分布概率步骤：
（1）确定分布和范围，即算出均值和标准差；
（2）将分布标准化，求出标准分；

（3）查找概率，通过在概率表中查找标准分可以求出正态概率，概率表给出的是等于或小于这个数值的概率。

# 第1步，定义随机变量
mu5 = 0   # 平均值
sigma = 1 # 标准差
X5 = np.arange(-5,5,0.1)
X5

# 第2步，求概率密度函数（PDF）
y = stats.norm.pdf(X5,mu5,sigma)
print('X5:',X5)
print('y:',y)

# 第3步，绘图
plt.plot(X5,y)
plt.xlabel('随机变量：x')
plt.ylabel('概率：y')
plt.title('正态分布：$\mu$=%.1f,$\sigma^2$=%.1f' % (mu5,sigma))
plt.grid()
plt.show()