线性代数学习笔记（十四）——分块矩阵
本篇笔记首先介绍了分块矩阵的概念，并介绍了按行或按列进行分块的两种常见分块方式，还讨论了矩阵标准形的主要基本特征，然后重点讨论了分块矩阵的几种运算，包括分块矩阵的和、差、数乘和乘积，以及对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积，最后还介绍了分块矩阵转置和求逆的运算。
1 基本概念
在计算或证明时为了方便，将矩阵进行分块。
定义：将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。——百度百科
[ 1 1 3 4 ∣ 0 − − − − − − 2 0 1 1 ∣ 0 1 1 1 1 ∣ 3 4 1 1 1 ∣ 0 ] = [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] \begin{bmatrix}1&1&3&4&|&0\\-&-&-&-&-&-\\2&0&1&1&|&0\\1&1&1&1&|&3\\4&1&1&1&|&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡1−2141−0113−1114−111∣−∣∣∣0−030⎦⎥⎥⎥⎥⎤=[A1A3A2A4]
根据实际做题的方便性和需要灵活分块。
以下是错误分法：
[ 1 ∣ 1 3 ∣ 4 0 ∣ − − − 2 ∣ 0 1 1 0 − − − − − 1 1 ∣ 1 1 ∣ 3 − − − − − 4 ∣ 1 1 ∣ 1 0 ] \begin{bmatrix}1&|&1&3&|&4&0\\&|&&&-&-&-\\2&|&0&1&&1&0\\&-&-&-&-&-&\\1&1&|&1&1&|&3\\&-&-&&-&-&-\\4&|&1&1&|&1&0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1214∣∣∣−1−∣10−∣−131−11∣−−1−∣4−1−∣−10−03−0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
要求：不管横线还是竖线，需要一气到头。
如果分块数量比较多，也可以使用以下方式表示：
[ A 11 A 12 A 21 A 22 ] \begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix} [A11A21A12A22]
2 两种常见的分块
2.1 按行分块
将每行进行分块。
[ 1 2 3 − − − 1 1 1 − − − 1 4 4 ] = [ A 1 A 2 A 3 ] \begin{bmatrix}1&2&3\\-&-&-\\1&1&1\\-&-&-\\1&4&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1\\A_2\\A_3\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡1−1−12−1−43−1−4⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎡A1A2A3⎦⎤
每一行构成一个列向量，向量将在后续章节介绍。
( α 1 α 2 α 3 ) \begin{pmatrix}{\alpha}_1\\{\alpha}_2\\{\alpha}_3\end{pmatrix} ⎝⎛α1α2α3⎠⎞
2.2 按列分块
将第列进行分块。
[ 1 ∣ 2 ∣ 3 1 ∣ 1 ∣ 1 1 ∣ 4 ∣ 4 ] = [ B 1 B 2 B 3 ] \begin{bmatrix}1&|&2&|&3\\1&|&1&|&1\\1&|&4&|&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_1&B_2&B_3\end{bmatrix} ⎣⎡111∣∣∣214∣∣∣314⎦⎤=[B1B2B3]
每一列构成一个行向量，向量将在后续章节介绍。
( β 1 β 2 β 3 ) \begin{pmatrix}{\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\end{pmatrix} (β1β2β3)
3 标准形
D = [ 1 ⋱ 1 0 ⋱ 0 ] m × n D=\begin{bmatrix}1&&&&&\\&\ddots&&&&\\&&1&&&\\&&&0&&\\&&&&\ddots&\\&&&&&0\end{bmatrix}_{m{\times}n} D=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱10⋱0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤m×n
最主要特征：从左上角开始一串连续的 1 1 1，其余地方均为 0 0 0。标准形不一定是方的。
判断以下矩不是准形：
[ 1 1 0 ] 是 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] 是 [ 1 1 1 1 ] \begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&0\end{bmatrix}是\qquad\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}是\qquad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix} ⎣⎡110⎦⎤是⎣⎡100010001000⎦⎤是⎣⎢⎢⎡1111⎦⎥⎥⎤是
[ 0 1 1 ] 不 是 [ 1 1 0 1 ] 不 是 [ 0 0 0 ] \begin{bmatrix}\color{red}{0}&&\\&1&\\&&1\end{bmatrix}不是\qquad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&\color{red}{0}&\\&&&1\end{bmatrix}不是\qquad\begin{bmatrix}0&&\\&0&\\&&0\end{bmatrix} ⎣⎡011⎦⎤不是⎣⎢⎢⎡1101⎦⎥⎥⎤不是⎣⎡000⎦⎤是
可以对标准形进行分块：
D = [ 1 ∣ ⋱ ∣ 1 ∣ − − − + − − − ∣ 0 ∣ ⋱ ∣ 0 ] m × n = [ E r O r × ( n − r ) O ( m − r ) × r O ( n − r ) × ( n − r ) ] D=\begin{bmatrix}1&&&|&&&\\&\ddots&&|&&&\\&&1&|&&&\\-&-&-&+&-&-&-\\&&&|&0&&\\&&&|&&\ddots&\\&&&|&&&0\end{bmatrix}_{m{\times}n}=\begin{bmatrix}E_r&O_{r\times(n-r)}\\O_{(m-r){\times}r}&O_{(n-r)\times(n-r)}\end{bmatrix} D=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−⋱−1−∣∣∣+∣∣∣−0−⋱−0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤m×n=[ErO(m−r)×rOr×(n−r)O(n−r)×(n−r)]
4 分块矩阵的运算
4.1 分块矩阵的和、差、数乘和乘积
① 分块矩阵加法（和减法）
[ A 1 A 2 A 3 A 4 ] + [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] = [ A 1 + B 1 A 2 + B 2 A 3 + B 3 A 4 + B 4 ] \begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\A_3+B_3&A_4+B_4\end{bmatrix} [A1A3A2A4]+[B1B3B2B4]=[A1+B1A3+B3A2+B2A4+B4]
对应块分别相加，但需要确保对应块的形状保持一致。
② 数乘以分块矩阵
k [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] = [ k A 1 k A 2 k A 3 k A 4 ] k\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kA_1&kA_2\\kA_3&kA_4\end{bmatrix} k[A1A3A2A4]=[kA1kA3kA2kA4]
用这个数分别乘以矩阵的每一个子块。
③ 分块矩阵乘法
[ A 1 A 2 A 3 A 4 ] [ B 1 B 2 B 3 B 4 ] = [ A 1 B 1 + A 2 B 3 A 1 B 2 + A 2 B 4 A 3 B 1 + A 4 B 3 A 3 B 2 + A 4 B 4 ] \begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1B_1+A_2B_3&A_1B_2+A_2B_4\\A_3B_1+A_4B_3&A_3B_2+A_4B_4\end{bmatrix} [A1A3A2A4][B1B3B2B4]=[A1B1+A2B3A3B1+A4B3A1B2+A2B4A3B2+A4B4]
将分块看成元素，即第一个矩阵行块与第二个矩阵列块对应先相乘再相加；
然后再对每个子块进行相乘。
分块矩阵能够相乘的前提条件：子块 A i k A_{ik} Aik与 B k j B_{kj} Bkj可乘。
例4：矩阵 A A A为 m × n m{\times}n m×n阶，矩阵 B B B为 n × s n{\times}s n×s阶，且 B = [ B 1 B 2 ⋯ B t ] B=\begin{bmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_t\end{bmatrix} B=[B1B2⋯Bt]，求 A B AB AB。
解：显然， A A A和 B B B的每一个子块都可乘。
A B = A [ B 1 B 2 ⋯ B t ] AB=A\begin{bmatrix}B_1&B_2&\cdots&B_t\end{bmatrix} AB=A[B1B2⋯Bt]
= [ A B 1 A B 2 ⋯ A B t ] =\begin{bmatrix}AB_1&AB_2&\cdots&AB_t\end{bmatrix} =[AB1AB2⋯ABt]
错误理解：将外面的 A A A看作一个数直接乘进去；
正确理解：将 A A A看作只有一个块的分块矩阵。
4.2 几种分块矩阵
4.2.1 对角型分块矩阵
[ A 1 A 2 ⋱ A t ] \begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_t\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡A1A2⋱At⎦⎥⎥⎤
只有主对角线上有不为零的块。
例5：已知对角型分块矩阵 A = [ A 1 A 2 ⋱ A k ] A=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡A1A2⋱Ak⎦⎥⎥⎤和 B = [ B 1 B 2 ⋱ B k ] B=\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix} B=⎣⎢⎢⎡B1B2⋱Bk⎦⎥⎥⎤，并且每个子块都是同阶方阵，求 A B AB AB和 A + B A+B A+B。
解： A B = [ A 1 A 2 ⋱ A k ] [ B 1 B 2 ⋱ B k ] AB=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix} AB=⎣⎢⎢⎡A1A2⋱Ak⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡B1B2⋱Bk⎦⎥⎥⎤
= [ A 1 B 1 A 2 B 2 ⋱ A k B k ] =\begin{bmatrix}A_1B_1&&&\\&A_2B_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_kB_k\end{bmatrix} =⎣⎢⎢⎡A1B1A2B2⋱AkBk⎦⎥⎥⎤
A + B = [ A 1 A 2 ⋱ A k ] + [ B 1 B 2 ⋱ B k ] A+B=\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&&&\\&B_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_k\end{bmatrix} A+B=⎣⎢⎢⎡A1A2⋱Ak⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎡B1B2⋱Bk⎦⎥⎥⎤
= [ A 1 + B 1 A 2 + B 2 ⋱ A k + B k ] =\begin{bmatrix}A_1+B_1&&&\\&A_2+B_2&&\\&&\ddots&\\&&&A_k+B_k\end{bmatrix} =⎣⎢⎢⎡A1+B1A2+B2⋱Ak+Bk⎦⎥⎥⎤
4.2.2 上三角和下三角分块矩阵
类似地，可以定义上三角分块矩阵和下三角分块矩阵。
容易证明：同型的对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积仍然是对角型分块矩阵、三角分块矩阵或下三角分块矩阵。
4.3 分块矩阵转置
④ 分块矩阵转置
A = [ A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 ] A=\begin{bmatrix}A_1&A_2&A_3\\A_4&A_5&A_6\end{bmatrix} A=[A1A4A2A5A3A6]
(1) 把子块看作普通元素求转置；
(2) 对每个子块求转置。
A T = [ A 1 T A 4 T A 2 T A 5 T A 3 T A 6 T ] A^T=\begin{bmatrix}A_1^T&A_4^T\\A_2^T&A_5^T\\A_3^T&A_6^T\end{bmatrix} AT=⎣⎡A1TA2TA3TA4TA5TA6T⎦⎤
4.4 分块矩阵求逆
⋆ \star ⋆ 例6：假设 H = [ A C O B ] H=\begin{bmatrix}A&C\\O&B\end{bmatrix} H=[AOCB]是分块矩阵，并且 A A A和 B B B分别为 m m m阶和 n n n阶的可逆矩阵，试验证 H H H可逆，并求 H H H的逆矩阵。
分析：由题意可知： A A A为 m m m阶的可逆方阵， B B B为 n n n阶的可逆方阵，所以 C C C为 m × n m{\times}n m×n阶， O O O为 n × m n{\times}m n×m阶。
证：行列式 ∣ H ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ |H|=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=|A|\cdot|B| ∣H∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣A∣⋅∣B∣
错误理解： = ∣ A B − O C ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ =|AB-OC|=|A|\cdot|B| =∣AB−OC∣=∣A∣⋅∣B∣
正确理解：使用拉普拉斯展开定理，取定后 n n n行展开，所以只能取后 n n n列得到的子式不为零（因为取到前面的列得到的子式都等于零），即要以理解为按子式 ∣ B ∣ |B| ∣B∣展开，余子式为 ∣ A ∣ |A| ∣A∣，故其值为：
= ∣ B ∣ ( − 1 ) 行 标 + 列 标 ∣ A ∣ =|B|(-1)^{行标+列标}|A| =∣B∣(−1)行标+列标∣A∣
= ∣ B ∣ ( − 1 ) [ ( m + 1 ) + ( m + 2 ) + . . . + ( m + n ) ] + [ ( m + 1 ) + ( m + 2 ) + . . . + ( m + n ) ] ∣ A ∣ =|B|(-1)^{[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A| =∣B∣(−1)[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]∣A∣
= ∣ B ∣ ( − 1 ) 2 [ ( m + 1 ) + ( m + 2 ) + . . . + ( m + n ) ] ∣ A ∣ =|B|(-1)^{2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]}|A| =∣B∣(−1)2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]∣A∣
= ∣ A ∣ ∣ B ∣ =|A||B| =∣A∣∣B∣
又因为 A A A和 B B B均可逆，故 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|{\neq0} ∣A∣=0且 ∣ B ∣ ≠ 0 |B|{\neq}0 ∣B∣=0，
即： ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ ≠ 0 |A|\cdot|B|{\neq}0 ∣A∣⋅∣B∣=0，
所以： H H H可逆。
假设： H − 1 = [ X 1 X 3 X 4 X 2 ] H^{-1}=\begin{bmatrix}X_1&X_3\\X_4&X_2\end{bmatrix} H−1=[X1X4X3X2]
所以： H H − 1 = ∣ A C O B ∣ [ X 1 X 3 X 4 X 2 ] HH^{-1}=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}\begin{bmatrix}X_1&X_3\\X_4&X_2\end{bmatrix} HH−1=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣[X1X4X3X2]
= [ A X 1 + C X 4 A X 3 + C X 2 B X 4 B X 2 ] = [ E O O E ] =\begin{bmatrix}AX_1+CX_4&AX_3+CX_2\\BX_4&BX_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E&O\\O&E\end{bmatrix} =[AX1+CX4BX4AX3+CX2BX2]=[EOOE]
所以： { A X 1 + C X 4 = E A X 3 + C X 2 = O B X 4 = O B X 2 = E \begin{cases}AX_1+CX_4=E\\AX_3+CX_2=O\\BX_4=O\\BX_2=E\end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧AX1+CX4=EAX3+CX2=OBX4=OBX2=E
错误理解： ⟹ B = O 或 X 4 = O \xcancel{\Longrightarrow}B=O或X_4=O ⟹ B=O或X4=O；
正确做法：因为 B B B可逆，所以 B − 1 B X 4 = B − 1 O B^{-1}BX_4=B^{-1}O B−1BX4=B−1O，所以 X 4 = O X_4=O X4=O。
错误理解：因为 B X 2 = E BX_2=E BX2=E，所以 X 2 = E B X_2=\frac{E}{B} X2=BE；
正确做法：根据逆矩阵推论，因为 B X 2 = E BX_2=E BX2=E，所以 X 2 = B − 1 X_2=B^{-1} X2=B−1。
同理，将 X 4 = O X_4=O X4=O代入 A X 1 + C X 4 = E AX_1+CX_4=E AX1+CX4=E可求出： X 1 = A − 1 X_1=A^{-1} X1=A−1，
将 X 2 = B − 1 X_2=B^{-1} X2=B−1代入 A X 3 + C X 2 = O AX_3+CX_2=O AX3+CX2=O，得 A X 3 = − C B − 1 AX_3=-CB^{-1} AX3=−CB−1，故 X 3 = − A − 1 C B − 1 X_3=-A^{-1}CB^{-1} X3=−A−1CB−1。
所以： H − 1 = [ A − 1 − A − 1 C B − 1 O B − 1 ] \color{red}{H^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\O&B^{-1}\end{bmatrix}} H−1=[A−1O−A−1CB−1B−1]
练习：假设 H = [ A O C B ] H=\begin{bmatrix}A&O\\C&B\end{bmatrix} H=[ACOB]是分块矩阵，并且 A A A和 B B B分别为 m m m阶和 n n n阶的可逆矩阵，试验证 H H H可逆，并求 H H H的逆矩阵。
结论： H − 1 = [ A − 1 O − B − 1 C A − 1 B − 1 ] \color{red}{H^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{bmatrix}} H−1=[A−1−B−1CA−1OB−1]
证明：略。
推论：若 A A A和 B B B均可逆，则 [ A B ] − 1 = [ A − 1 B − 1 ] \color{red}{\begin{bmatrix}A&\\&B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&\\&B^{-1}\end{bmatrix}} [AB]−1=[A−1B−1]。
可以进行推广：若 A 1 A_1 A1、 A 2 A_2 A2 … A s A_s As均可逆，
则 [ A 1 A 2 ⋱ B s ] − 1 = [ A 1 − 1 A 2 − 1 ⋱ B s − 1 ] \color{red}{\begin{bmatrix}A_1&&&\\&A_2&&\\&&\ddots&\\&&&B_s\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&&&\\&A_2^{-1}&&\\&&\ddots&\\&&&B_s^{-1}\end{bmatrix}} ⎣⎢⎢⎡A1A2⋱Bs⎦⎥⎥⎤−1=⎣⎢⎢⎡A1−1A2−1⋱Bs−1⎦⎥⎥⎤。
5 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.5 分块矩阵