连续型概率分布，正态分布

一。一维连续型随机变量

P(a<X<b)=P(a⩽X⩽b) P ( a < X < b ) = P ( a ⩽ X ⩽ b )
=F(b)−F(a)=∫baf(x)dx = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x
F(x)=∫x−∞f(t)dt F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t
称F(x)是随机变量X的分布函数，f(x)为X的概率密度

二。性质：

1) f(x)⩾0; f ( x ) ⩾ 0 ;
2) ∫+∞−∞f(x)dx=1 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1
3) P{X=a} = 0,

三。重要分布

1).均匀分布

{1b−a,a⩽x⩽b0,others { 1 b − a , a ⩽ x ⩽ b 0 , o t h e r s

2).指数分布

3).正态分布

f(x)=12π√σe(x−μ)22σ2(−∞<x<+∞) f ( x ) = 1 2 π σ e ( x − μ ) 2 2 σ 2 ( − ∞ < x < + ∞ )

μ μ 为期望值， σ σ 为方差。称X为服从参数为 μ μ 和 σ σ 的正态分布，简记为
X ~ N(μ,σ2) N ( μ , σ 2 )

4).标准正态分布

当 μ μ =0时， σ σ =1时，称为正态分布。简记为 X ~ N（0，1）。
将一般正态分布做标准化转换

Y=X−μσ Y = X − μ σ ~ N(0,1)

F(x)=Φ(x−μσ) F ( x ) = Φ ( x − μ σ )

四。示例

【例1】设随机变量X服从正态分布N（0,1），对给定的 α α ，数 μα μ α 满足 P(X>μα) P ( X > μ α ) ，若 P(|X|<x)=α P ( | X | < x ) = α ，则 x 等于（）。
(A) μα2 μ α 2
(B) μ1−α2 μ 1 − α 2
(C) μ1−α2 μ 1 − α 2
(D) μ1−α μ 1 − α

解：设置信区间分割点为 μα μ α
P(|X|<x)=α P ( | X | < x ) = α
⇒ ⇒
P(|X|<μα)=α P ( | X | < μ α ) = α
1−2Φ(x)⩽α 1 − 2 Φ ( x ) ⩽ α
Φ(x)⩾1−α2 Φ ( x ) ⩾ 1 − α 2

Φ(μα)⩾1−α2 Φ ( μ α ) ⩾ 1 − α 2

所以， μα⩾1−α2 μ α ⩾ 1 − α 2
所以，选择(C)

【例2】设电源电压 U ~ N(220,25^2) (单位：V)，通常有3种状态：
(1)不超过200V；
(2)在200V~240V之间；
(3)超过240V。
在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别为0.1；0.001；0.2；
(1)求电子元件损坏的概率 α α
(2)在电子元件已损坏的情况下，试分析电压所处的状态。

【解】:
(1)求电子元件损坏的概率 α α
由前面博客：条件概率，乘法定理 (概统1)
全概率公式：
P(A)=∑nj=1P(A|Bj)P(Bj) P ( A ) = ∑ j = 1 n P ( A | B j ) P ( B j )
B1 B 1 = 电压小于等于200V, U⩽200V U ⩽ 200 V
B2 B 2 = 电压大于200V，小于等于240 ; 200V<U⩽240V 200 V < U ⩽ 240 V
B3 B 3 = 电压大于240V, 240V<U 240 V < U

P(A)=∑3j=1P(A|Bj)P(Bj) P ( A ) = ∑ j = 1 3 P ( A | B j ) P ( B j )

P(A|B1)=P(U⩽200V) P ( A | B 1 ) = P ( U ⩽ 200 V )
标准化迁移：
F(x)=Φ(x−μσ) F ( x ) = Φ ( x − μ σ )

标准化迁移： μ=220,α=25 μ = 220 , α = 25
U∗=U−22025 U ∗ = U − 220 25

1.1) P(A|B1) P ( A | B 1 )

P(U⩽200V)==>P(U−22025<|200−22025|) P ( U ⩽ 200 V ) ==> P ( U − 220 25 < | 200 − 220 25 | )
Ulow=|200−22025| U l o w = | 200 − 220 25 | = |0.8|
P( Ulow U l o w )= 0.7881

P(U^*<|-0.8|) , 查标准正态分布表 0.8

0.800 对应 0.7881
P(U^*<|-0.8|) = 1−Φ(0.8) 1 − Φ ( 0.8 ) =1-0.7881 = 0.2119

P(A|B1)=P(U∗⩽Ulow) P ( A | B 1 ) = P ( U ∗ ⩽ U l o w ) = 0.2119

1.2) P(A|B2) P ( A | B 2 )

B2 B 2 = 电压大于200V，小于等于240 ; 200V<U⩽240V 200 V < U ⩽ 240 V
U∗=U−22025 U ∗ = U − 220 25
Ulow=|200−22025| U l o w = | 200 − 220 25 | = |0.8| = 0.7881
Uhigh=|240−22025| U h i g h = | 240 − 220 25 | = |0.8| = 0.7881

查正态分布表：
0.800 对应 0.7881
Φ(0.8)=0.7881 Φ ( 0.8 ) = 0.7881
P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=1−P(α1)−P(α2) P ( U l o w ⩽ U ∗ < U h i g h ) = 1 − P ( α 1 ) − P ( α 2 )

P(α1)=1−0.7881=0.2119 P ( α 1 ) = 1 − 0.7881 = 0.2119
P(α2)=1−0.7881=0.2119 P ( α 2 ) = 1 − 0.7881 = 0.2119

P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=1−P(α1)−P(α2) P ( U l o w ⩽ U ∗ < U h i g h ) = 1 − P ( α 1 ) − P ( α 2 )
=1-0.2119-0.2119 = 0.5762
P(A|B2)=P(Ulow⩽U∗<Uhigh)=0.5762 P ( A | B 2 ) = P ( U l o w ⩽ U ∗ < U h i g h ) = 0.5762

1.3) P(A|B3) P ( A | B 3 )
B3 B 3 = 电压大于240V, 240V<U 240 V < U
U∗=U−22025 U ∗ = U − 220 25
Uhigh=|240−22025| U h i g h = | 240 − 220 25 | = |0.8| = 0.7881

P(A|B3)=P(U∗>Uhigh) P ( A | B 3 ) = P ( U ∗ > U h i g h ) = P(α2)=1−0.7881=0.2119 P ( α 2 ) = 1 − 0.7881 = 0.2119

所以，电子元件损坏的概率
α=P(A)=∑nj=1P(A|Bj)P(Bj) α = P ( A ) = ∑ j = 1 n P ( A | B j ) P ( B j )
=P(A|B1)∗P(B1)+P(A|B2)∗P(B2)+P(A|B3)∗P(B3) = P ( A | B 1 ) ∗ P ( B 1 ) + P ( A | B 2 ) ∗ P ( B 2 ) + P ( A | B 3 ) ∗ P ( B 3 )
=0.2119*0.1 + 0.5762*0.001 +0.2119*0.2
≈0.0624 ≈ 0.0624

(2)在电子元件已损坏的情况下，试分析电压所处的状态。
根据题意，元件损坏的条件分三种电压状态
如果所求元件损坏的概率是P(A)， 那么，元件损坏时，电压所处有3种状态，所以，就是求
P(B1|A)
P(B2|A)
P(B3|A)

P(B1|A)=P(A|B1)P(B1)P(A)=0.2119∗0.10.0624=0.34 P ( B 1 | A ) = P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) P ( A ) = 0.2119 ∗ 0.1 0.0624 = 0.34
P(B2|A)=P(A|B2)P(B2)P(A)=0.5162∗0.0010.0624=0.0083 P ( B 2 | A ) = P ( A | B 2 ) P ( B 2 ) P ( A ) = 0.5162 ∗ 0.001 0.0624 = 0.0083
P(B3|A)=P(A|B3)P(B3)P(A)=0.2119∗0.20.0624=0.68 P ( B 3 | A ) = P ( A | B 3 ) P ( B 3 ) P ( A ) = 0.2119 ∗ 0.2 0.0624 = 0.68

【例3】 某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩 X∼N(μ,σ2) X ∼ N ( μ , σ 2 ) 。已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取。

【解】分析，若已知正态分布，则只需知道分布函数上面两个点，就可以求出正态分布的 μ μ 和 σ σ ，已知 μ μ 和 σ σ ，又知道录取率，就可以求得
Xh X h ，看看某人成绩是否大于 Xh X h

Φ(x1−μσ)=p1 Φ ( x 1 − μ σ ) = p 1
Φ(x2−μσ)=p2 Φ ( x 2 − μ σ ) = p 2

Φ(90−μσ)=12526=0.0228 Φ ( 90 − μ σ ) = 12 526 = 0.0228
Φ(60−μσ)=83526=0.158 Φ ( 60 − μ σ ) = 83 526 = 0.158

Φ(X>X90+)=0.0228 Φ ( X > X 90 + ) = 0.0228
Φ(X⩽X90+)=1−0.0228=0.9772 Φ ( X ⩽ X 90 + ) = 1 − 0.0228 = 0.9772

反查表，0.0228，得正态分布随机表量
Φ(X⩽X90+)=0.9772 Φ ( X ⩽ X 90 + ) = 0.9772 ,
X_{90+}= 2.0
x1−μσ=2.0 x 1 − μ σ = 2.0
90−μσ=2.0 90 − μ σ = 2.0 (1)

注意：依题意， μ μ 会介于90分和60分之间

Φ(X⩽X60−)=0.158 Φ ( X ⩽ X 60 − ) = 0.158
Φ(X>X60−)=1−0.158=0.8412 Φ ( X > X 60 − ) = 1 − 0.158 = 0.8412
反查表，0.8412对应
X_{60-} = 1.0
−(x2−μ)σ=1.0 − ( x 2 − μ ) σ = 1.0
−(60−μ)σ=1.0 − ( 60 − μ ) σ = 1.0 (2)

(1)和(2)解联立方程，得
μ=70，σ=10 μ = 70 ， σ = 10

设录取分数线为 Xh X h
Φ(Xh−μσ)=155526 Φ ( X h − μ σ ) = 155 526 = 0.295
P(X<Xh∗)=1−Φ(Xh∗)=1−0.295=0.705 P ( X < X h ∗ ) = 1 − Φ ( X h ∗ ) = 1 − 0.295 = 0.705
反查表，得
X_h*=0.54
Xh∗=Xh−μσ X h ∗ = X h − μ σ =0.54
X_h=75.4
所以，得到分数线为X_h=75分

回答问题，某人78分，大于分数线75分，可以被录取。