二元正态分布，多元正态分布

对于两个随机变量 $X$, $Y$，若它们服从二维正态分布，则概率密度函数为：

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_X{\sigma }_Y\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left(-\frac{1}{1-{\rho }^2}\left[\frac{(x-{\mu }_X{)}^2}{{\sigma }_X}+\frac{(y-{\mu }_Y{)}^2}{{\sigma }_Y}-\frac{2\rho (x-{\mu }_X)(y-{\mu }_Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\right]\right)$$

其中两个随机变量的均值分别为 ${\mu }_X$，${\mu }_Y$，方差分别为 ${\sigma }_X$, ${\sigma }_Y$。 $\rho$ 为两个变量的相关系数，若 $\rho =0$，则表示两个变量相互独立。

$$\rho =\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{{\sigma }_X^2{\sigma }_Y^2}}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$$

多元正态分布的表达式为：
$$f(x_1,x_2,\dots ,x_k)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^k|\sum |}}\exp \left(-\frac{1}{2}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu }{)}^{\mathbf{T}}{\sum }^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })\right)$$

其中，$\mathbf{X}$ 为随机变量的向量表示，而 $\mathbf{\mu }$ 为各个随机变量期望的向量表示。在二元情况下，$\sum$ 的表达式为：
$$\sum =\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_X^2& \rho {\sigma }_X{\sigma }_Y\\ \rho {\sigma }_X{\sigma }_Y& {\sigma }_Y^2\end{array}\right)$$