常用数据结构与算法时间复杂度求解

1.0 数据结构的相关概念

2.0 一些基本算法的时间复杂度

O(1)：

int x=1;

O(n)：

for(int i = 0; i < n; i++){
    printf("%d",i);
}

O(log₂n)：

int n = 8,count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i*=2){
    count++;
}

O(n²)：

int n = 8,count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int j = 1;  j <= n; j++){
        count++;
    }
}

O(nlog₂n)：

int n = 8,count = 0;
for(int i = 1; i <= n; i*=2){
    for(int j = 1;  j <= n; j++){
        count++;
    }
}

2.1 求解时间复杂度的基本步骤

（1）找出算法中的基本语句：算法中执行次数最多的，通常是内层循环的循环体；
（2）计算基本语句的执行次数的数量级；
（3）用大O记号表示算法的时间性能，将基本语句执行次数的数量级放入大O记号中。

2.1.0 例题解析

eg1：

#include 

int main(){
    int i, j, x = 0, sum = 0, n = 100;      //执行了1次
    for( i = 1; i <= n; i++){               //执行了n+1次
        sum = sum +i;                       //执行了n次
        for(j = 1; j <= n; j++){            //执行了n*(n+1)次
            x++;                            //执行了n*n次
            sum =sum + x;                   //执行了n*n次
        }
    }
    printf("%d",sum);                       //执行了1次
}

很显然，一共执行了 1+(n+1)+n+n*(n+1)+ n* n +n*n =3n² +3n +2次，去掉常数，保留最高阶，化最高阶系数为1，得到数量级O（n²)。即时间复杂度为：T（n）=O（n²）。

eg2：计算 1+2+3+4+······+100

#include 

int main(){
    int i , sum = 0,n = 100;        //执行了1次
    for(i = 1; i <= n; i++){        //执行了n+1次
        sum +=i;                    //执行了n次
    }
    printf("%d",sum);               //执行了1次
}

显然的，算法所用时间（语句执行频度）为：1+n+1+n+1 = 2n+3次，故时间复杂度为：O（n）。

eg3：计算 1+2+3+4+······+100 （高斯算法）

#include 

int main(){
    int sum = 0, n = 100;           //执行了1次
    sum =(1+n)*n/2;                 //执行了1次
    printf("%d",sum);               //执行了1次
}

时间复杂度为：O（3），记为O（1）。

eg4： 求两个n阶方阵C=A * B的乘积，算法如下

void MatrixMultiply(int A[n][n], int B[n][n], int C[n][n]){
    for(int i = 0; i < n; i++){                         //执行了n+1次
        for(j = 0; j < n; j++){                         //执行了n*(n+1)次
            C[i][j] = 0;                                //执行了n^2^次
            for(k = 0; k < n; k++){                     //执行了n^2^*(n+1)次
                C[i][j] = C[i][j] + A[i][k] *B[k][j];    //执行了n^3^次
            }
        }
    }
}

则T（n）=2n³+3n²+2n+1，故时间复杂度为O（n³）。

eg5：

void test(int n){
    i = 1,k = 100;
    while(i < n){
        k = k+1;
        i = i+2;
    }
}

==求解步骤：==

假设循环体执行了T（n）次，
当循环体（i=i+2）执行了1次时，i = 1 + 2;
当循环体（i=i+2）执行了2次时，i = 2 + 2;
``````
以此类推，很显然，i =2T(n) +1，又循环条件为 i < n，
即 2T(n) +1 <= n-1，解得T(n) <= n/2 -1，故时间复杂度为O(n)。

2.1.1 常见时间复杂及其效率高低比较（由高到低）

O(1) > O(logn) > O(n) > O(nlogn) > O(n²) > O(n³) > O(2ⁿ) > O(n!) > O(nⁿ)。如果你设计的算法时间复杂度为O(2ⁿ)以后的，那么你必须修改你的算法了。很显然，常数阶（O(1)）效率最高，比如高斯算法。

3.0 总结

数据结构与算法是计算机专业必修课程，也是计算机专业考研的重点，更是一个程序员必备技能，必须学好。

参考：随心而码 紫罗兰