兔兔 的 题解 —— From Hero to Zero

From Hero to Zero

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题目描述

有一天，小明给了你两个数字 $n$ 和 $k$。
现在，你需要对数字 $n$ 进行一下操作：
对于每一步操作，你可以选择下面其中一个项目：

1. 将的 $n$ 值减少 $1$
2. 如果能 $n$ 被 $k$ 整除，可以使 $n/k$

比如 $n=27,k=3$ 时：你可以进行下列操作：$27\to 26\to 25\to 24\to 8\to 7\to 6\to 2\to 1\to 0$ (不一定是最优的哦~)
请你计算出数字 $n$ 变为 $0$ 时最少需要的操作数。

输入格式

第一行输入一个整数 $t$ $(1\le t\le 100)$，表示数据个数
接下来 $t$ 行，每行 $2$ 个整数 $n$ 和 $k$ $(1\le n\le 10^{18},2\le k\le 10^{18})$

输出格式

将数字 $n$ 变为 $0$ 的最小次数

样例

样例输入

2
59 3
1000000000000000000 10

样例输出

8
19

样例解释

对于第一组数据，有：$59\to 58\to 57\to 19\to 18\to 6\to 2\to 1\to 0$
对于第二组数据，可以连续除以 $18$ 个 $0$ 使变为 $1$。

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分析

这道题最容易想到的就是模拟了。
代码如下：

#include 

int T;
long long N, K;
long long ans;

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	for (int i = 1; i <= T; i++)
	{
		scanf("%lld %lld", &N, &K);
		ans = 0;
		while (N)
		{
			if (N % K == 0) N /= K;
			else --N;
			++ans;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

但是这道题用模拟是会超时的，我们需要进一步优化。
当 $n=pk+q$ 时，我们需要循环 $q$ 次 $n-1$，这样的时间复杂度是 $q$，不妨优化一下：
我们可以直接 $n-q$，这样时间复杂度是 $1$。相比时间复杂度是 $q$ 的，就快了很多。

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正解代码如下：

#include 

int T;
long long N, K;
long long ans;

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	for (int i = 1; i <= T; i++)
	{
		scanf("%lld %lld", &N, &K);
		ans = 0;
		while (N)
		{
			if (N % K == 0) ++ans, N /= K;
			else ans += N % K, N -= N % K;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

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