NOI历年总结

[><]NOI历年总结

发表于 2015-06-24    |   分类于 题解    |   4条评论

发现历年NOI的题目里面……DP好多啊……

NOI2007

• 社交网络 图论，最短路，floyed。
• 货币兑换 DP，斜率优化，分治或动态凸包 经典的动态凸包或分治斜率优化DP的问题。
• 项链工厂 线段树 旋转和翻转实际上没有对序列做出改变，记录项链的起点和方向即可直接用线段树。
• 生成树计数 DP，基于连通性状态压缩，矩阵乘法 新添加一个节点的时候，方案只和最后kk个点的连通性相关。状态压缩连通性（最小表示法），暴力处理转移，矩阵乘法优化。

NOI2008

• 志愿者招募 线性规划，网络流 比较奇葩的建图（差分或线性规划花间式子），也可以用单纯型。
• 糖果雨 树状数组 全部转换为时刻为00的状态，以起点、长度为横纵坐标建二维树状数组，用补集思想查询。
• 道路设计 树形DP 令f[i][j][k]f[i][j][k]表示第ii个点得子树，最大的不便利度为jj（lognlogn)，和儿子的边里面有kk(≤2≤2)个火车道，方案数。
• 假面舞会 并查集 如果原来不是一个集合直接合并并维护信息，是的话答案必为差值的约数。
• 奥运物流 环套树DP 枚举环的长度，枚举本身的高度，直接DP，O(n5)O(n5)。

NOI2009

• 变换序列 匈牙利算法 直接二分图匹配，倒着做，优先找字典序小得。
• 诗人小G DP，决策单调性 如题……
• 二叉查找树 区间DP 以数据值排序区间DP，离散化权值，f[i][j][w]f[i][j][w]表示ii到jj构成的子树所有点权值大于ww的最小代价
• 植物大战僵尸 拓扑排序，最大权闭合子图，网络流 经典建图，负权植物相当于“成本”，正权植物相当于“收益”，最大权闭合子图建图最小割即可。当然首先要拓扑排序，避免环的情况。正权和正权之间、正权和负权之间也是可以连边。
• 管道取珠 DP 所谓平方可以理解成两个装置最后取得同样的序列的方案数。然后三维DP即可。

NOI2010

• 能量采集 数论，反演，mu或phi函数 经典的反演问题，两种推法——一种用莫比乌斯反演，一种直接利用欧拉函数的性质。
• 超级钢琴 主席树或RMQ，堆 问题相当于取前kk大，对于每一个点作结尾，主席树做法：维护这个点取到第几大，RMQ做法：每次用完后拆成两个区间扔回堆里。很经典。
• 海拔 最小割 想想就会发现只可能是00和11，然后00和11交界处会有损失，不就是最小割么……
• 航空管制 拓扑排序 正着做很蛋疼，我们倒过来做。因为正着是放晚了不行，而倒过来是放早了不行，所以不用担心往后脱。第二问就尽量先撑着不放目标点，实在不行了再放。

NOI2011

• 兔农 矩阵乘法，斐波那契数列 用了一些斐波那契数列循环节的结论。找模kk意义下的循环节，然后矩阵乘法。
• 智能车比赛 DP，几何 拐点只可能出现在两个矩形之间“通道”的拐点上，DP转移的时候维护一个可视弧度范围即可。
• 阿狸的打字机 AC自动机Fail树，DFS序，树状数组 先建起Fail树处理出DFS序,然后按顺序枚举每个字符串X，处理“Y在X中出现了几次”的询问。在DFS序中标记X中的点，统计Y子树里面有几个标记的点。
• 道路修建 DFS，手写栈 直接DFS一遍，卡递归……
• NOI嘉年华 DP，单调性 首先处理前缀和后缀。f[i][j]f[i][j]表示到ii这个位置，其中一个场地有jj个嘉年华，另一个最多有多少。O(n3)O(n3)。第二问令g[i][j]g[i][j]表示ii到jj全选的最大答案。需要枚举左右两边f[i][j]f[i][j]里面的那个jj，然后发现随着左边jj的增大，右边jj的最优解单调不增。
• 兔兔与蛋蛋 黑白染色，二分图 路径一定不重走某一点。必胜：该点在所有最大匹配中。不要每次都再做一遍匈牙利，直接增广即可。

NOI2012

• 随机数生成器 矩阵乘法或BSGS RT……
• 骑行川藏 拉格朗日乘数法，牛顿迭代 RT……
• 魔幻棋盘 GCD相关知识，二维线段树（点修改，区间查询） 利用gcd(a,b)=gcd(b,a−b)gcd(a,b)=gcd(b,a−b)，将维护的数字从原数字变成了差。二维类似。这样区间修改只需要修改几个点。
• 迷失游乐园 环套树期望DP 对每个点，处理向下的期望和向上的期望，环上暴力。
• 美食街 费用流，动态开节点 对于每个厨师每个做菜的时间开一个节点，对每个菜开一个节点。因为点太多，所以对厨师做菜的时间的节点动态开。

NOI2013

• 矩阵游戏 快速幂，等比数列或推式子 可以直接展开，发现可以变成等比数列求和。或者是像数学课学的求数列一样设个什么未知数……
• 书法家 DP 按照三个字母的形态划分为多个阶段，每个阶段不同的转移。
• 快餐店 树的直径，环套树，线段树 两种思路：第一种，显然环上有一条边一定不会走，枚举这条边，割掉，然后求直径，用线段树。第二种，枚举中心点在环的哪一段里面，然后转着维护答案。
• 向量内积 矩阵乘法，点积，tricky 利用神奇的矩阵一题里面的做法，判断向量矩阵和它的转置矩阵乘起来是否和无解的答案矩阵一样。如果是模33就先平方（向量变成d2d2维）再做。
• 树的计数 DFS和BFS序性质，线段树，期望 分为期望+1+1，+0.5+0.5，清零三种情况。按照BFS（深度不减）顺序遍历。

NOI2014

• 起床困难综合症 位运算性质 因为位运算每一位互不影响，我们当然要尽量让高位上答案为11，倒着推就行。
• 魔法森林 LCT，排序 按照AA权值排序，一个一个加，动态维护关于BB的MST。
• 动物园 KMP 维护KMP，同时维护答案，用类似KMP的方法。
• 随机数生成器 贪心 显然每次能取小的就取小的。从小到大枚举，然后我们标记那些不能再取的点。因为每个点只会被标记一次，所以复杂度是对的。
• 购票 点分治，CDQ分治，斜率优化 推式子发现是斜率优化，先点分治，然后用类似CDQ分治的方法做，排序询问，边更新凸包，边更新答案。

NOI2015

• 程序自动分析 离散化+并查集
• 软件包管理器 树链剖分
• 寿司晚宴  状压DP 。
• 荷马史诗 贪心  k叉哈夫曼树，堆优化
• 品酒大会 后缀数组 并查集。
• 小园丁与老司机   Dp 有上下界的网络流

  
  

总结

• 几何 1

• DP 13 包括：

  • 斜率优化 2（都是分治）
  • 矩乘 1
  • 连通性状态压缩 2（一个是插头，另一个只是划分一下状态）
  • 树形 2
  • 环套树 2
  • 单调性 2
  • 区间 1
  • 期望 1

• 期望 2

• 数据结构 9 包括

  • 树状数组、线段树 5
  • LCT 1
  • 堆 1
  • 并查集 2

• 环套树相关 3

• 网络流 5 包括：

  • 线性规划（转成费用流） 1
  • 最小割 1
  • 最大权闭合子图 1
  • 费用流 1
  • 有上下界的网络流

• 图论相关 4 包括：

  • 拓扑排序 2
  • 二分图 2

• 数学相关 4 包括：

  • 数论 1（反演）
  • 数列相关2
  • 拉格朗日乘数 牛顿迭代 1

• 矩乘 3

• 字符串 2 包括：

  • AC自动机（Fail树） 1
  • KMP 1

• 点分治 1

• 位运算相关 1

• 贪心 2