4矩阵的对角化

根据前面的来看，一点点复述固然效果好，但是太费时间，后面会加快速度，可能使用截图。

1.特征征值与特征向量

1.1定义

对$m$阶方阵 ，若存在数$\lambda$，及非零向量（列向量）$x$，使得$Ax=\lambda x$ ,则称$\lambda$为$A$的特征值，$x$为$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量。

• 特征向量不唯一
• 特征向量非零
• $(\lambda I-A)x=0$有非零解，称$det(\lambda I-A)$为$A$的多项式求解$det(\lambda I-A)=0$的解，求出的$\lambda$便是矩阵的特征值，将特征值带入方程$(\lambda I-A)x=0$中得到特征向量

[例一]：

1.2矩阵的迹与行列式

$$trA=\sum _{i=1}^n{a}_{ii},所有对角线元素之和$$ $$detA=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i,trA=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$

1.3两个定理

1. 设$A,B$分别为$m\times n,n\times m$的矩阵，则$tr(AB)=tr(BA)$
2. $sylvster$定理：设$A,B$分别为$m\times n,n\times m$的矩阵，则$det(\lambda I_m-AB)={\lambda }^{m-n}det(\lambda I_n-BA)$

2矩阵对角化的充要条件

定理：$n$阶方阵$A$可通过相似变换对角化的充要条件是它具有$n$个线性无关的特征向量。

3内积空间

3.1酉空间

设$V$是复线性空间（ $k\in C$），对于 中任何两个元素$x,y$均按某一规则存在一个实数与之对应，记为(x.y)，若它满足

则称(x,y)为x与y的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。
最简单：
$$实：(x,y)=x^{T}y$$ $$复：(x,y)=x^T\overline{y}$$

3.2正交性

若(x,y)=0,则称x与y正交。
夹角：$cos\alpha =\frac{(x,y)}{|x||y|}$

3.3Gram-Schmidt正交化手续

第四将完结撒花！！！！