4矩阵的对角化

矩阵的对角化

  • 1.特征征值与特征向量
    • 1.1定义
    • 1.2矩阵的迹与行列式
    • 1.3两个定理
  • 2矩阵对角化的充要条件
  • 3内积空间
    • 3.1酉空间
    • 3.2正交性
    • 3.3Gram-Schmidt正交化手续

根据前面的来看,一点点复述固然效果好,但是太费时间,后面会加快速度,可能使用截图。

1.特征征值与特征向量

1.1定义

m m m阶方阵 ,若存在数 λ \lambda λ,及非零向量(列向量) x x x,使得 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx ,则称 λ \lambda λ A A A的特征值, x x x A A A的属于特征值 λ \lambda λ的特征向量。

  • 特征向量不唯一
  • 特征向量非零
  • ( λ I − A ) x = 0 (\lambda I-A)x=0 (λIA)x=0有非零解,称 d e t ( λ I − A ) det(\lambda I-A) det(λIA) A A A的多项式求解 d e t ( λ I − A ) = 0 det(\lambda I-A)=0 det(λIA)=0的解,求出的 λ \lambda λ便是矩阵的特征值,将特征值带入方程 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda I-A)x=0 (λIA)x=0中得到特征向量

[例一]:
4矩阵的对角化_第1张图片

1.2矩阵的迹与行列式

t r A = ∑ i = 1 n a i i , 所 有 对 角 线 元 素 之 和 trA=\sum_{i=1}^na_{ii},所有对角线元素之和 trA=i=1naii,线 d e t A = ∏ i = 1 n λ i , t r A = ∑ i = 1 n λ i detA=\prod_{i=1}^n\lambda_i,trA=\sum_{i=1}^n\lambda_{i} detA=i=1nλi,trA=i=1nλi

1.3两个定理

  1. A , B A,B A,B分别为 m × n , n × m m\times n,n\times m m×n,n×m的矩阵,则 t r ( A B ) = t r ( B A ) tr(AB)=tr(BA) tr(AB)=tr(BA)
  2. s y l v s t e r sylvster sylvster定理:设 A , B A,B A,B分别为 m × n , n × m m\times n,n\times m m×n,n×m的矩阵,则 d e t ( λ I m − A B ) = λ m − n d e t ( λ I n − B A ) det(\lambda I_m-AB)=\lambda^{m-n}det(\lambda I_n-BA) det(λImAB)=λmndet(λInBA)

2矩阵对角化的充要条件

定理: n n n阶方阵 A A A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有 n n n个线性无关的特征向量。
4矩阵的对角化_第2张图片
4矩阵的对角化_第3张图片

3内积空间

3.1酉空间

V V V是复线性空间( k ∈ C k\in C kC),对于 中任何两个元素 x , y x,y x,y均按某一规则存在一个实数与之对应,记为(x.y),若它满足
4矩阵的对角化_第4张图片
则称(x,y)为x与y的内积,定义了内积的复线性空间称为酉空间。
最简单:
实 : ( x , y ) = x T y 实:(x,y)=x^Ty (x,y)=xTy 复 : ( x , y ) = x T y ‾ 复:(x,y)=x^T\overline y (x,y)=xTy

3.2正交性

若(x,y)=0,则称x与y正交。
夹角: c o s α = ( x , y ) ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos\alpha=\frac{(x,y)}{|x||y|} cosα=xy(x,y)

3.3Gram-Schmidt正交化手续

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第四将完结撒花!!!!
4矩阵的对角化_第6张图片

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