「SPOJ 5971」LCMSUM

题目传送门

题意

求 ∑ni=1lcm(i,n) ∑ i = 1 n l c m ( i , n ) ， T T 组询问

1≤T≤3×105,1≤n≤106 1 ≤ T ≤ 3 × 10 5 , 1 ≤ n ≤ 10 6

题解

∑i=1nlcm(i,n) ∑ i = 1 n l c m ( i , n )

=∑i=1ningcd(i,n) = ∑ i = 1 n i n g c d ( i , n )

=n∑i=1nigcd(i,n) = n ∑ i = 1 n i g c d ( i , n )

=n∑d|n∑i=1nid[gcd(i,n)==d] = n ∑ d | n ∑ i = 1 n i d [ g c d ( i , n ) == d ]

=n∑d|n∑i=1nid[gcd(id,nd)==1] = n ∑ d | n ∑ i = 1 n i d [ g c d ( i d , n d ) == 1 ]

=n∑d|n∑i=1⌊nd⌋i[gcd(i,nd)==1] = n ∑ d | n ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ i [ g c d ( i , n d ) == 1 ]

考虑到 d d 与 n/d n / d 枚举的是同一个东西：

=n∑d|n∑i=1di[gcd(i,d)==1] = n ∑ d | n ∑ i = 1 d i [ g c d ( i , d ) == 1 ]

记 f(d)=∑di=1i[gcd(i,d)==1] f ( d ) = ∑ i = 1 d i [ g c d ( i , d ) == 1 ] ，则原式：

=n∑d|nf(d) = n ∑ d | n f ( d )

考虑如何求 f(d) f ( d ) 。它的意义是比它小的与它互质的数之和。注意到对于任意的 d>1 d > 1 , 2|ϕ(d) 2 | ϕ ( d ) .因为若 i i 是一个互质的数，那么 d−i d − i 也是一个与 d d 互质的数。每一对的和都是 d d ，因此每对互质的数累计一下答案。 d=1 d = 1 的时候根据定义算一下。因此最后的答案就是：

f(d)=dϕ(d)2(d>1) f ( d ) = d ϕ ( d ) 2 ( d > 1 )

.

f(d)=1(d=1) f ( d ) = 1 ( d = 1 )

.

于是就可以循环把一个数所有的约数的 f f 函数之和预处理（记作 g g ）出来，最后询问的时候直接输出 n∗g(n) n ∗ g ( n ) 就行.

#include 
#include 

typedef long long LL;

const int MAXN = 1e6 + 100;

bool tag[MAXN];
int pr[MAXN], cnt;
LL phi[MAXN], g[MAXN];

void Init(int n) {
    memset(tag, 1, sizeof tag); tag[1] = false; phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i ++) {
        if(tag[i]) {
            pr[++ cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt && i * pr[j] <= n; j ++) {
            tag[i * pr[j]] = false;
            if(i % pr[j] == 0) {
                phi[i * pr[j]] = phi[i] * pr[j];
                break;
            }
            phi[i * pr[j]] = phi[i] * (pr[j] - 1);
        }
    }
}

int main() {
    Init(1e6);
    int T, n;
    scanf("%d", &T);
    for(int i = 1; i <= 1e6; i ++)
        for(int j = 1; i * j <= 1e6; j ++)
            g[i * j] += j == 1 ? 1 : j * phi[j] / 2;
    while(T --) {
        scanf("%d", &n);
        printf("%lld\n", n * g[n]);
    }
    return 0;
}